Номер 16.43, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.43, страница 84.

Условие.

16.43 a) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}};

б) $\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}};

в) $\frac{6}{\sqrt{15}+\sqrt{12}};

г) $\frac{36}{\sqrt{18}-\sqrt{12}}.$

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{7} + \sqrt{3} $.

$ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} $

В знаменателе применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 $

Подставим полученное значение в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3} $

Ответ: $ \sqrt{7} + \sqrt{3} $

б) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{4}{\sqrt{10} + \sqrt{2}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{10} - \sqrt{2} $.

$ \frac{4}{\sqrt{10} + \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{(\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2}) = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8 $

Подставим полученное значение в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{4(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} $

в) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{6}{\sqrt{15} + \sqrt{12}} $, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ \sqrt{15} - \sqrt{12} $.

$ \frac{6}{\sqrt{15} + \sqrt{12}} = \frac{6(\sqrt{15} - \sqrt{12})}{(\sqrt{15} + \sqrt{12})(\sqrt{15} - \sqrt{12})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ (\sqrt{15} + \sqrt{12})(\sqrt{15} - \sqrt{12}) = (\sqrt{15})^2 - (\sqrt{12})^2 = 15 - 12 = 3 $

Подставим полученное значение в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{6(\sqrt{15} - \sqrt{12})}{3} = 2(\sqrt{15} - \sqrt{12}) $

Упростим выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $.

$ 2(\sqrt{15} - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{15} - 4\sqrt{3} $

Ответ: $ 2\sqrt{15} - 4\sqrt{3} $

г) Для решения $ \frac{36}{\sqrt{18} - \sqrt{12}} $ сначала упростим корни в знаменателе:

$ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $

Получаем дробь $ \frac{36}{3\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} $. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} $.

$ \frac{36(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})} $

В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = (3\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 2 - 4 \cdot 3 = 18 - 12 = 6 $

Подставим полученное значение в знаменатель, сократим дробь и раскроем скобки:

$ \frac{36(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{6} = 6(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) = 18\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $

Ответ: $ 18\sqrt{2} + 12\sqrt{3} $