Номер 16.31, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.31, страница 83.

Условие.

16.31

a) $(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1)$;

$ (2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) $

б) $(5 + \sqrt{15})(\sqrt{3} - \sqrt{5})$;

$ (5 + \sqrt{15})(\sqrt{3} - \sqrt{5}) $

в) $(3 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})$;

$ (3 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) $

г) $(3 + \sqrt{21})(\sqrt{3} - \sqrt{7}).$

$ (3 + \sqrt{21})(\sqrt{3} - \sqrt{7}) $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы раскрыть скобки, воспользуемся правилом умножения многочленов, по которому каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
$(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - 1) = 2 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot (-1) + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot (-1)$
Выполним умножение и упростим выражение:
$2\sqrt{3} - 2 + (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 2 + 3 - \sqrt{3}$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (-2 + 3) = \sqrt{3} + 1$
Ответ: $1 + \sqrt{3}$.

б) Для решения этого примера можно сначала вынести общий множитель из первой скобки. Заметим, что $5 = (\sqrt{5})^2$ и $\sqrt{15} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$.
$5 + \sqrt{15} = (\sqrt{5})^2 + \sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{3})$
Теперь исходное выражение принимает вид:
$\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{5})$
Поменяем множители местами и воспользуемся тем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется $(\sqrt{5} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{5})$:
$\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5})$
Произведение двух последних скобок представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{5}$.
$\sqrt{5}((\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2) = \sqrt{5}(3 - 5) = \sqrt{5}(-2) = -2\sqrt{5}$
Ответ: $-2\sqrt{5}$.

в) Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:
$(3 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 5 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$
Выполним умножение:
$15 + 3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 = 15 + 3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - 5$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(15 - 5) + (3\sqrt{5} - 5\sqrt{5}) = 10 - 2\sqrt{5}$
Ответ: $10 - 2\sqrt{5}$.

г) Преобразуем первую скобку, вынеся за нее общий множитель. Заметим, что $3 = (\sqrt{3})^2$ и $\sqrt{21} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}$.
$3 + \sqrt{21} = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}\sqrt{7} = \sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{7})$
Подставим полученное выражение в исходное:
$\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{7})(\sqrt{3} - \sqrt{7})$
Произведение двух последних скобок является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{7}$.
$\sqrt{3}((\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2) = \sqrt{3}(3 - 7) = \sqrt{3}(-4) = -4\sqrt{3}$
Ответ: $-4\sqrt{3}$.