Номер 16.25, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.25, страница 82.

Условие.

16.25 а) $5\sqrt{3} - \sqrt{300} - \sqrt{27}$;

б) $2\sqrt{125} + 2\sqrt{20} - \frac{1}{2}\sqrt{80}$;

в) $3\sqrt{5} + \sqrt{20} + \sqrt{80}$;

г) $3\sqrt{12} + 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\sqrt{27}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $5\sqrt{3} - \sqrt{300} - \sqrt{27}$, необходимо привести все слагаемые к одному виду, вынеся множитель из-под знака корня. Общий радикал здесь будет $\sqrt{3}$.
Упростим корень из 300. Для этого разложим 300 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $300 = 100 \cdot 3$.
$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.
Теперь упростим корень из 27. Разложим 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$5\sqrt{3} - 10\sqrt{3} - 3\sqrt{3}$.
Теперь, когда все слагаемые содержат $\sqrt{3}$, мы можем выполнить действия с их коэффициентами:
$(5 - 10 - 3)\sqrt{3} = (-5 - 3)\sqrt{3} = -8\sqrt{3}$.
Ответ: $-8\sqrt{3}$.

б) Упростим выражение $2\sqrt{125} + 2\sqrt{20} - \frac{1}{2}\sqrt{80}$. Для этого приведем все корни к одному виду. Заметим, что все подкоренные выражения делятся на 5.
Вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$2\sqrt{125} = 2\sqrt{25 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5\sqrt{5} = 10\sqrt{5}$.
$2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
$-\frac{1}{2}\sqrt{80} = -\frac{1}{2}\sqrt{16 \cdot 5} = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = -\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$10\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$.
Сгруппируем коэффициенты при $\sqrt{5}$:
$(10 + 4 - 2)\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$.
Ответ: $12\sqrt{5}$.

в) Упростим выражение $3\sqrt{5} + \sqrt{20} + \sqrt{80}$. Приведем все слагаемые к общему радикалу $\sqrt{5}$.
Упростим $\sqrt{20}$ и $\sqrt{80}$:
$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$.
Сложим коэффициенты при $\sqrt{5}$:
$(3 + 2 + 4)\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$.
Ответ: $9\sqrt{5}$.

г) Упростим выражение $3\sqrt{12} + 2\sqrt{3} - \frac{2}{3}\sqrt{27}$. Общим радикалом здесь будет $\sqrt{3}$.
Упростим первое и третье слагаемые:
$3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \cdot 3} = 3 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
$-\frac{2}{3}\sqrt{27} = -\frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 3} = -\frac{2}{3} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = -\frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$.
Выполним действия с коэффициентами при $\sqrt{3}$:
$(6 + 2 - 2)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Ответ: $6\sqrt{3}$.