Страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

16.93 Найдите значение выражения:

a) $x^2 - 2x\sqrt{2} + 2$, если $x = \sqrt{2} + 1$;

б) $2a^2 - 8a\sqrt{2} + 16$, если $a = 5\sqrt{2}$;

в) $y^2 + 2y\sqrt{3} + 3$, если $y = 4 - \sqrt{3}$;

г) $3b^2 + 2b\sqrt{3} + 1$, если $b = 3\sqrt{3}$.

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 2x\sqrt{2} + 2$ при $x = \sqrt{2} + 1$, заметим, что данное выражение является полным квадратом.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=\sqrt{2}$, так как $x^2 - 2x\sqrt{2} + 2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})^2$.

Теперь подставим значение $x = \sqrt{2} + 1$ в полученное выражение:

$(x - \sqrt{2})^2 = ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{2})^2 = (1)^2 = 1$.

Ответ: 1

б) Чтобы найти значение выражения $2a^2 - 8a\sqrt{2} + 16$ при $a = 5\sqrt{2}$, сначала вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 - 4a\sqrt{2} + 8)$.

Выражение в скобках, $a^2 - 4a\sqrt{2} + 8$, также является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=2\sqrt{2}$, так как $a^2 - 2 \cdot a \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = a^2 - 4a\sqrt{2} + 8$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $2(a - 2\sqrt{2})^2$.

Подставим значение $a = 5\sqrt{2}$:

$2(5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2 = 2((5-2)\sqrt{2})^2 = 2(3\sqrt{2})^2 = 2(3^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = 2(9 \cdot 2) = 2 \cdot 18 = 36$.

Ответ: 36

в) Чтобы найти значение выражения $y^2 + 2y\sqrt{3} + 3$ при $y = 4 - \sqrt{3}$, заметим, что данное выражение является полным квадратом.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=y$ и $b=\sqrt{3}$, так как $y^2 + 2y\sqrt{3} + 3 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (y + \sqrt{3})^2$.

Теперь подставим значение $y = 4 - \sqrt{3}$ в полученное выражение:

$(y + \sqrt{3})^2 = ((4 - \sqrt{3}) + \sqrt{3})^2 = (4)^2 = 16$.

Ответ: 16

г) Чтобы найти значение выражения $3b^2 + 2b\sqrt{3} + 1$ при $b = 3\sqrt{3}$, заметим, что и это выражение является полным квадратом.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=b\sqrt{3}$ и $b=1$, так как $(b\sqrt{3})^2 + 2 \cdot (b\sqrt{3}) \cdot 1 + 1^2 = 3b^2 + 2b\sqrt{3} + 1$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $(b\sqrt{3} + 1)^2$.

Подставим значение $b = 3\sqrt{3}$:

$( (3\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} + 1)^2 = (3 \cdot (\sqrt{3})^2 + 1)^2 = (3 \cdot 3 + 1)^2 = (9 + 1)^2 = 10^2 = 100$.

Ответ: 100

16.94 Сравните значения числовых выражений А и В:

a) $A = \frac{1}{3\sqrt{3}-5} + \frac{1}{3\sqrt{3}+5}$; $B = \sqrt{30}$

б) $A = \frac{2}{4+2\sqrt{5}} - \frac{2}{4-2\sqrt{5}}$; $B = \sqrt{24}$

в) $A = \frac{3}{2\sqrt{6}-3} + \frac{3}{2\sqrt{6}+3}$; $B = \sqrt{3}$

г) $A = \frac{1}{2+3\sqrt{2}} - \frac{1}{2-3\sqrt{2}}$; $B = \sqrt{2}$

а)

Для сравнения значений выражений A и B, сначала упростим выражение A. Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2.

$A = \frac{1}{3\sqrt{3} - 5} + \frac{1}{3\sqrt{3} + 5} = \frac{(3\sqrt{3} + 5) + (3\sqrt{3} - 5)}{(3\sqrt{3} - 5)(3\sqrt{3} + 5)}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $3\sqrt{3} + 5 + 3\sqrt{3} - 5 = 6\sqrt{3}$

Знаменатель: $(3\sqrt{3})^2 - 5^2 = 9 \cdot 3 - 25 = 27 - 25 = 2$

Таким образом, $A = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.

Теперь сравним полученное значение A с B, где $B = \sqrt{30}.

Для сравнения $A = 3\sqrt{3}$ и $B = \sqrt{30}$, возведем оба положительных числа в квадрат:

$A^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

$B^2 = (\sqrt{30})^2 = 30$

Так как $27 < 30, то $A^2 < B^2, следовательно, $A < B.

Ответ: $A < B$.

б)

Упростим выражение A, приведя дроби к общему знаменателю:

$A = \frac{2}{4 + 2\sqrt{5}} - \frac{2}{4 - 2\sqrt{5}} = \frac{2(4 - 2\sqrt{5}) - 2(4 + 2\sqrt{5})}{(4 + 2\sqrt{5})(4 - 2\sqrt{5})}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $8 - 4\sqrt{5} - (8 + 4\sqrt{5}) = 8 - 4\sqrt{5} - 8 - 4\sqrt{5} = -8\sqrt{5}$

Знаменатель: $4^2 - (2\sqrt{5})^2 = 16 - 4 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Таким образом, $A = \frac{-8\sqrt{5}}{-4} = 2\sqrt{5}.

Теперь сравним $A = 2\sqrt{5}$ и $B = \sqrt{24}.

Возведем оба положительных числа в квадрат:

$A^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$B^2 = (\sqrt{24})^2 = 24$

Так как $20 < 24, то $A^2 < B^2, следовательно, $A < B.

Ответ: $A < B$.

в)

Упростим выражение A, приведя дроби к общему знаменателю:

$A = \frac{3}{2\sqrt{6} - 3} + \frac{3}{2\sqrt{6} + 3} = \frac{3(2\sqrt{6} + 3) + 3(2\sqrt{6} - 3)}{(2\sqrt{6} - 3)(2\sqrt{6} + 3)}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $6\sqrt{6} + 9 + 6\sqrt{6} - 9 = 12\sqrt{6}$

Знаменатель: $(2\sqrt{6})^2 - 3^2 = 4 \cdot 6 - 9 = 24 - 9 = 15$

Таким образом, $A = \frac{12\sqrt{6}}{15} = \frac{4\sqrt{6}}{5}.

Теперь сравним $A = \frac{4\sqrt{6}}{5}$ и $B = \sqrt{3}.

Возведем оба положительных числа в квадрат:

$A^2 = \left(\frac{4\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{16 \cdot 6}{25} = \frac{96}{25} = 3.84$

$B^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Так как $3.84 > 3, то $A^2 > B^2, следовательно, $A > B.

Ответ: $A > B$.

г)

Упростим выражение A, приведя дроби к общему знаменателю:

$A = \frac{1}{2 + 3\sqrt{2}} - \frac{1}{2 - 3\sqrt{2}} = \frac{(2 - 3\sqrt{2}) - (2 + 3\sqrt{2})}{(2 + 3\sqrt{2})(2 - 3\sqrt{2})}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $2 - 3\sqrt{2} - 2 - 3\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$

Знаменатель: $2^2 - (3\sqrt{2})^2 = 4 - 9 \cdot 2 = 4 - 18 = -14$

Таким образом, $A = \frac{-6\sqrt{2}}{-14} = \frac{3\sqrt{2}}{7}.

Теперь сравним $A = \frac{3\sqrt{2}}{7}$ и $B = \sqrt{2}.

Так как $\sqrt{2} > 0, мы можем сравнить коэффициенты при $\sqrt{2}.

Для A коэффициент равен $\frac{3}{7}$, а для B он равен 1.

Поскольку $\frac{3}{7} < 1, то $\frac{3\sqrt{2}}{7} < \sqrt{2}, следовательно, $A < B.

Ответ: $A < B$.

Упростите выражение:

16.95 a) $\frac{\frac{x}{x - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}}{\frac{x^2 + 2}{x^2 + x\sqrt{2}}}$;

б) $\frac{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}}{\frac{a^2 + ab}{a - b}}$.

а)

Для упрощения данного выражения, которое представляет собой четырехэтажную дробь, мы последовательно упростим числитель и знаменатель, а затем выполним деление.

1. Упростим числитель основной дроби: $ \frac{x}{x-\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} $. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = x^2-2$.

$ \frac{x(x+\sqrt{2}) - \sqrt{2}(x-\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})} = \frac{x^2 + x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{x^2 - 2} = \frac{x^2+2}{x^2-2} $

2. Теперь у нас есть выражение: $ \frac{\frac{x^2+2}{x^2-2}}{\frac{x^2+2}{x^2+x\sqrt{2}}} $. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$ \frac{x^2+2}{x^2-2} \cdot \frac{x^2+x\sqrt{2}}{x^2+2} $

3. Сократим общий множитель $(x^2+2)$ в числителе и знаменателе.

$ \frac{x^2+x\sqrt{2}}{x^2-2} $

4. Для возможного дальнейшего сокращения разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $ x^2+x\sqrt{2} = x(x+\sqrt{2}) $.

Знаменатель (по формуле разности квадратов): $ x^2-2 = x^2 - (\sqrt{2})^2 = (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) $.

5. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и выполним сокращение.

$ \frac{x(x+\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})} = \frac{x}{x-\sqrt{2}} $

Ответ: $ \frac{x}{x-\sqrt{2}} $

б)

Упростим данное выражение по аналогии с предыдущим заданием, начав с числителя основной дроби.

1. Упростим числитель: $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} $. Приведем к общему знаменателю $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a-b$.

$ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{a + \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b} $

2. Теперь исходное выражение имеет вид: $ \frac{\frac{a+b}{a-b}}{\frac{a^2+ab}{a-b}} $. Выполним деление, умножив на перевернутую вторую дробь.

$ \frac{a+b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2+ab} $

3. Сократим общий множитель $(a-b)$.

$ \frac{a+b}{a^2+ab} $

4. Разложим знаменатель на множители и снова сократим.

Знаменатель: $ a^2+ab = a(a+b) $.

$ \frac{a+b}{a(a+b)} = \frac{1}{a} $

Ответ: $ \frac{1}{a} $

16.96 a) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

б) $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$

в) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$

г) $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$

а)Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись два условия: $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{3}$. Можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.
Проверим, выполняется ли первое условие: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Условие выполняется.
Таким образом, подкоренное выражение можно записать как $7 + 4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}|$.
Поскольку выражение $2 + \sqrt{3}$ положительное, модуль можно опустить.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

б)Для упрощения выражения $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись два условия: $a^2 + b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.
Проверим, выполняется ли первое условие: $a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$. Условие выполняется.
Таким образом, $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$, поэтому модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

в)Для упрощения выражения $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, чтобы $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$.
Из второго уравнения $ab = 2\sqrt{3}$. Как и в пункте а), подходят значения $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.
Проверим первое условие: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Условие выполняется.
Таким образом, $7 - 4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$.
Чтобы снять модуль, сравним $2$ и $\sqrt{3}$. Поскольку $2^2=4$ и $(\sqrt{3})^2=3$, то $4>3$, следовательно $2 > \sqrt{3}$. Значит, $2 - \sqrt{3} > 0$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

г)Для упрощения выражения $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, чтобы $a^2 + b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$.
Из второго уравнения $ab = \sqrt{2}$. Как и в пункте б), подходят значения $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.
Проверим первое условие: $a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$. Условие выполняется.
Таким образом, $3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{2} + 1|$.
Поскольку выражение $\sqrt{2} + 1$ положительное, модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

16.97 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{1}{4} \cdot (xa^{-1} - ax^{-1}) \cdot \left(\frac{a^{-1} - x^{-1}}{a^{-1} + x^{-1}} - \frac{a^{-1} + x^{-1}}{a^{-1} - x^{-1}}\right)$

при $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}, x = 0,2(13)$;

б) $ \frac{1 + ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}} \cdot \frac{a^{-1}}{a^{-1}x - ax^{-1}} : \frac{ax^{-1}}{x - a} \cdot x^{-2}$

при $a = -2,785, x = \sqrt{13} - 1.$

Для нахождения значения выражения $ \frac{1}{4} \cdot (xa^{-1} - ax^{-1}) \cdot \left( \frac{a^{-1} - x^{-1}}{a^{-1} + x^{-1}} - \frac{a^{-1} + x^{-1}}{a^{-1} - x^{-1}} \right) $ сначала упростим его, выполняя действия по шагам.

1. Упростим выражение в первой скобке, используя определение степени с отрицательным показателем ($ y^{-n} = \frac{1}{y^n} $):
$ xa^{-1} - ax^{-1} = x \cdot \frac{1}{a} - a \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{a} - \frac{a}{x} = \frac{x^2 - a^2}{ax} $.

2. Упростим выражение во второй скобке. Сначала преобразуем числители и знаменатели дробей:
$ a^{-1} - x^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{x} = \frac{x-a}{ax} $
$ a^{-1} + x^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{x} = \frac{x+a}{ax} $
Подставим эти выражения в дроби внутри скобок:
$ \frac{a^{-1} - x^{-1}}{a^{-1} + x^{-1}} = \frac{\frac{x-a}{ax}}{\frac{x+a}{ax}} = \frac{x-a}{x+a} $
$ \frac{a^{-1} + x^{-1}}{a^{-1} - x^{-1}} = \frac{\frac{x+a}{ax}}{\frac{x-a}{ax}} = \frac{x+a}{x-a} $

3. Выполним вычитание дробей во второй скобке, приведя их к общему знаменателю $ (x+a)(x-a) = x^2-a^2 $:
$ \frac{x-a}{x+a} - \frac{x+a}{x-a} = \frac{(x-a)^2 - (x+a)^2}{(x+a)(x-a)} = \frac{(x^2 - 2ax + a^2) - (x^2 + 2ax + a^2)}{x^2 - a^2} $
$ = \frac{x^2 - 2ax + a^2 - x^2 - 2ax - a^2}{x^2 - a^2} = \frac{-4ax}{x^2 - a^2} $.

4. Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:
$ \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{x^2 - a^2}{ax} \right) \cdot \left( \frac{-4ax}{x^2 - a^2} \right) $
Сократим полученное выражение:
$ \frac{1 \cdot (x^2 - a^2) \cdot (-4ax)}{4 \cdot ax \cdot (x^2 - a^2)} = -1 $.

Результат упрощения - константа, равная -1. Это означает, что значение выражения не зависит от конкретных значений переменных $ a $ и $ x $, если выражение определено (т.е. знаменатели не обращаются в ноль). Для данных $ a = \sqrt{2 + \sqrt{3}} $ и $ x = 0.2(13) $ все условия выполнимы.

Ответ: -1.

Рассмотрим выражение $ \frac{1 + ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}} \cdot \frac{a^{-1}}{a^{-1}x - ax^{-1}} : \frac{ax^{-1}}{x-a} \cdot x^{-2} $.
Упростим его, выполняя действия последовательно слева направо.

1. Упростим первый множитель $ \frac{1 + ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}} $:
$ \frac{1 + ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}} = \frac{1 + \frac{a}{x}}{\frac{1}{ax}} = \frac{\frac{x+a}{x}}{\frac{1}{ax}} = \frac{x+a}{x} \cdot (ax) = a(x+a) $.

2. Упростим второй множитель $ \frac{a^{-1}}{a^{-1}x - ax^{-1}} $:
$ \frac{a^{-1}}{a^{-1}x - ax^{-1}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{x}{a} - \frac{a}{x}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{x^2 - a^2}{ax}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{ax}{x^2-a^2} = \frac{x}{x^2-a^2} = \frac{x}{(x-a)(x+a)} $.

3. Выполним первое умножение (результат шага 1 умножить на результат шага 2):
$ a(x+a) \cdot \frac{x}{(x-a)(x+a)} = \frac{a(x+a)x}{(x-a)(x+a)} = \frac{ax}{x-a} $ (при $ x+a \neq 0 $).

4. Выполним деление. Разделим результат шага 3 на $ \frac{ax^{-1}}{x-a} $. Сначала преобразуем делитель: $ \frac{ax^{-1}}{x-a} = \frac{a/x}{x-a} = \frac{a}{x(x-a)} $.
$ \frac{ax}{x-a} : \frac{a}{x(x-a)} = \frac{ax}{x-a} \cdot \frac{x(x-a)}{a} = x \cdot x = x^2 $ (при $ a \neq 0, x \neq a $).

5. Выполним последнее умножение: результат шага 4 умножим на $ x^{-2} $.
$ x^2 \cdot x^{-2} = x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 1 $ (при $ x \neq 0 $).

Итоговое значение выражения равно 1. Оно не зависит от заданных значений $ a = -2.785 $ и $ x = \sqrt{13} - 1 $, так как при этих значениях выражение имеет смысл (знаменатели не равны нулю).

Ответ: 1.

Проверьте равенство:

16.98 а) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 1;$

б) $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} + \sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = 1.$

а) Чтобы проверить равенство $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 1$, необходимо упростить левую часть. Для этого преобразуем выражения под корнями, выделив полные квадраты по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$. Представим $4\sqrt{5}$ как $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Тогда в качестве $a$ и $b$ можно взять $2$ и $\sqrt{5}$. Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Это совпадает с целой частью подкоренного выражения.Значит, $9 - 4\sqrt{5} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (2 - \sqrt{5})^2$.Тогда $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}|$.Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то $2 - \sqrt{5} < 0$. Следовательно, $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$.
Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$. Представим $6\sqrt{5}$ как $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}$. Тогда в качестве $a$ и $b$ можно взять $3$ и $\sqrt{5}$. Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$. Это совпадает с целой частью подкоренного выражения.Значит, $14 - 6\sqrt{5} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (3 - \sqrt{5})^2$.Тогда $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = |3 - \sqrt{5}|$.Так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, то $3 - \sqrt{5} > 0$. Следовательно, $|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$.
Теперь подставим полученные значения в левую часть исходного равенства:$(\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = 1$.В результате получили $1 = 1$, что подтверждает верность равенства.
Ответ: равенство верно.

б) Чтобы проверить равенство $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} + \sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = 1$, воспользуемся тем же методом, что и в пункте а).
Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$. Представим $4\sqrt{7}$ как $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7}$. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{7}$. Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{7})^2 = 4 + 7 = 11$.Значит, $11 - 4\sqrt{7} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (2 - \sqrt{7})^2$.Тогда $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}|$.Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} < \sqrt{7}$, то $2 - \sqrt{7} < 0$. Следовательно, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.
Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$. Представим $6\sqrt{7}$ как $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}$. Пусть $a=3$ и $b=\sqrt{7}$. Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$.Значит, $16 - 6\sqrt{7} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (3 - \sqrt{7})^2$.Тогда $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$.Так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{7}$, то $3 - \sqrt{7} > 0$. Следовательно, $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.
Подставим упрощенные выражения в левую часть исходного равенства:$(\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$.В результате получили $1 = 1$, что подтверждает верность равенства.
Ответ: равенство верно.

16.99 $\left( \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}} \right)^2 = 8.$

16.99 Чтобы доказать данное тождество, необходимо упростить выражение в левой части и показать, что его значение равно 8.

Обозначим всё выражение в скобках как $E$:

$E = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}}$

Первым шагом упростим сложные радикалы в знаменателях, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов.

1. Упрощение $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$.
$6 + 4\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2+\sqrt{2})^2$.
Таким образом, $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} = |2+\sqrt{2}| = 2+\sqrt{2}$.

2. Упрощение $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$.
$6 - 4\sqrt{2} = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2-\sqrt{2})^2$.
Таким образом, $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = |2-\sqrt{2}|$. Поскольку $2 > \sqrt{2}$, то $2-\sqrt{2}$ — положительное число, и модуль можно опустить: $2-\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные значения в выражение $E$:

$E = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + (2+\sqrt{2})} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - (2-\sqrt{2})} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}$

Упростим каждую из дробей.

Первая дробь: $\frac{6 + 4\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} = \frac{2(3 + 2\sqrt{2})}{2(1+\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$. Заметив, что $3 + 2\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2$, получаем: $\frac{(1+\sqrt{2})^2}{1+\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.

Вторая дробь: $\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2} = \frac{2(3 - 2\sqrt{2})}{2(\sqrt{2}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Заметив, что $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$, получаем: $\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}-1$.

Теперь сложим полученные выражения:

$E = (1+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$.

Наконец, возведем результат в квадрат, как того требует условие:

$\left( \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}} \right)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Левая часть равна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: 8.