Номер 16.99, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.99, страница 91.

Условие.

16.99 $\left( \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}} \right)^2 = 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

16.99 Чтобы доказать данное тождество, необходимо упростить выражение в левой части и показать, что его значение равно 8.

Обозначим всё выражение в скобках как $E$:

$E = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}}$

Первым шагом упростим сложные радикалы в знаменателях, представив подкоренные выражения в виде полных квадратов.

1. Упрощение $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}}$.
$6 + 4\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2+\sqrt{2})^2$.
Таким образом, $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} = |2+\sqrt{2}| = 2+\sqrt{2}$.

2. Упрощение $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$.
$6 - 4\sqrt{2} = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2-\sqrt{2})^2$.
Таким образом, $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2-\sqrt{2})^2} = |2-\sqrt{2}|$. Поскольку $2 > \sqrt{2}$, то $2-\sqrt{2}$ — положительное число, и модуль можно опустить: $2-\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные значения в выражение $E$:

$E = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + (2+\sqrt{2})} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - (2-\sqrt{2})} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}$

Упростим каждую из дробей.

Первая дробь: $\frac{6 + 4\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} = \frac{2(3 + 2\sqrt{2})}{2(1+\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$. Заметив, что $3 + 2\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2$, получаем: $\frac{(1+\sqrt{2})^2}{1+\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.

Вторая дробь: $\frac{6 - 4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2} = \frac{2(3 - 2\sqrt{2})}{2(\sqrt{2}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$. Заметив, что $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2$, получаем: $\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}-1$.

Теперь сложим полученные выражения:

$E = (1+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$.

Наконец, возведем результат в квадрат, как того требует условие:

$\left( \frac{6 + 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}} \right)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Левая часть равна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: 8.