Номер 16.93, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.93, страница 91.

Условие.

16.93 Найдите значение выражения:

a) $x^2 - 2x\sqrt{2} + 2$, если $x = \sqrt{2} + 1$;

б) $2a^2 - 8a\sqrt{2} + 16$, если $a = 5\sqrt{2}$;

в) $y^2 + 2y\sqrt{3} + 3$, если $y = 4 - \sqrt{3}$;

г) $3b^2 + 2b\sqrt{3} + 1$, если $b = 3\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы найти значение выражения $x^2 - 2x\sqrt{2} + 2$ при $x = \sqrt{2} + 1$, заметим, что данное выражение является полным квадратом.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=\sqrt{2}$, так как $x^2 - 2x\sqrt{2} + 2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (x - \sqrt{2})^2$.

Теперь подставим значение $x = \sqrt{2} + 1$ в полученное выражение:

$(x - \sqrt{2})^2 = ((\sqrt{2} + 1) - \sqrt{2})^2 = (1)^2 = 1$.

Ответ: 1

б) Чтобы найти значение выражения $2a^2 - 8a\sqrt{2} + 16$ при $a = 5\sqrt{2}$, сначала вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 - 4a\sqrt{2} + 8)$.

Выражение в скобках, $a^2 - 4a\sqrt{2} + 8$, также является полным квадратом. Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=2\sqrt{2}$, так как $a^2 - 2 \cdot a \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = a^2 - 4a\sqrt{2} + 8$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $2(a - 2\sqrt{2})^2$.

Подставим значение $a = 5\sqrt{2}$:

$2(5\sqrt{2} - 2\sqrt{2})^2 = 2((5-2)\sqrt{2})^2 = 2(3\sqrt{2})^2 = 2(3^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = 2(9 \cdot 2) = 2 \cdot 18 = 36$.

Ответ: 36

в) Чтобы найти значение выражения $y^2 + 2y\sqrt{3} + 3$ при $y = 4 - \sqrt{3}$, заметим, что данное выражение является полным квадратом.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=y$ и $b=\sqrt{3}$, так как $y^2 + 2y\sqrt{3} + 3 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (y + \sqrt{3})^2$.

Теперь подставим значение $y = 4 - \sqrt{3}$ в полученное выражение:

$(y + \sqrt{3})^2 = ((4 - \sqrt{3}) + \sqrt{3})^2 = (4)^2 = 16$.

Ответ: 16

г) Чтобы найти значение выражения $3b^2 + 2b\sqrt{3} + 1$ при $b = 3\sqrt{3}$, заметим, что и это выражение является полным квадратом.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае $a=b\sqrt{3}$ и $b=1$, так как $(b\sqrt{3})^2 + 2 \cdot (b\sqrt{3}) \cdot 1 + 1^2 = 3b^2 + 2b\sqrt{3} + 1$.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $(b\sqrt{3} + 1)^2$.

Подставим значение $b = 3\sqrt{3}$:

$( (3\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} + 1)^2 = (3 \cdot (\sqrt{3})^2 + 1)^2 = (3 \cdot 3 + 1)^2 = (9 + 1)^2 = 10^2 = 100$.

Ответ: 100