Номер 16.89, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.89, страница 90.

Условие.

Докажите тождество:

16.89 a)

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} + \frac{2a}{a - b} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}};

б) $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{ab}}{b - a} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.
$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} + \frac{2a}{a - b} $
Заметим, что знаменатель второй дроби $ \sqrt{b} - \sqrt{a} = -(\sqrt{a} - \sqrt{b}) $. Знаменатель третьей дроби можно разложить по формуле разности квадратов: $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $.
Преобразуем выражение, вынеся минус из знаменателя второй дроби:
$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{2a}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $
Общий знаменатель для всех трех дробей — $ a - b $. Приведем их к этому знаменателю:
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} - \frac{2\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} + \frac{2a}{a - b} $
Запишем все под одной дробной чертой и упростим числитель:
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) - 2\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + 2a}{a - b} = \frac{\sqrt{ab} - b - 2a - 2\sqrt{ab} + 2a}{a - b} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{-b - \sqrt{ab}}{a - b} $
Вынесем минус из числителя и знаменателя, поменяв в знаменателе $ a - b $ на $ b - a $:
$ \frac{-(b + \sqrt{ab})}{-(b - a)} = \frac{b + \sqrt{ab}}{b - a} $
Разложим числитель и знаменатель на множители: $ b + \sqrt{ab} = \sqrt{b}(\sqrt{b} + \sqrt{a}) $ и $ b - a = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a}) $.
$ \frac{\sqrt{b}(\sqrt{b} + \sqrt{a})}{(\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})} $
Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{b} + \sqrt{a}) $:
$ \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b} - \sqrt{a}} $
Мы преобразовали левую часть тождества и получили его правую часть. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б)

Докажем второе тождество, преобразовав его левую часть.
$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{2\sqrt{ab}}{b - a} $
Заметим, что знаменатель третьей дроби $ b - a = -(a - b) $. Вынесем минус перед дробью:
$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{2\sqrt{ab}}{a - b} $
Приведем все дроби к общему знаменателю $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} - \frac{2\sqrt{ab}}{a - b} $
Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - 2\sqrt{ab}}{a - b} = \frac{a - \sqrt{ab} + \sqrt{ab} + b - 2\sqrt{ab}}{a - b} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{a - b} $
Числитель является формулой квадрата разности: $ a - 2\sqrt{ab} + b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 $. Знаменатель является формулой разности квадратов: $ a - b = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) $.
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} $
Сократим дробь на общий множитель $ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) $:
$ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $
Мы преобразовали левую часть тождества и получили его правую часть. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.