Номер 16.94, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.94, страница 91.

Условие.

16.94 Сравните значения числовых выражений А и В:

a) $A = \frac{1}{3\sqrt{3}-5} + \frac{1}{3\sqrt{3}+5}$; $B = \sqrt{30}$

б) $A = \frac{2}{4+2\sqrt{5}} - \frac{2}{4-2\sqrt{5}}$; $B = \sqrt{24}$

в) $A = \frac{3}{2\sqrt{6}-3} + \frac{3}{2\sqrt{6}+3}$; $B = \sqrt{3}$

г) $A = \frac{1}{2+3\sqrt{2}} - \frac{1}{2-3\sqrt{2}}$; $B = \sqrt{2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для сравнения значений выражений A и B, сначала упростим выражение A. Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2.

$A = \frac{1}{3\sqrt{3} - 5} + \frac{1}{3\sqrt{3} + 5} = \frac{(3\sqrt{3} + 5) + (3\sqrt{3} - 5)}{(3\sqrt{3} - 5)(3\sqrt{3} + 5)}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $3\sqrt{3} + 5 + 3\sqrt{3} - 5 = 6\sqrt{3}$

Знаменатель: $(3\sqrt{3})^2 - 5^2 = 9 \cdot 3 - 25 = 27 - 25 = 2$

Таким образом, $A = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.

Теперь сравним полученное значение A с B, где $B = \sqrt{30}.

Для сравнения $A = 3\sqrt{3}$ и $B = \sqrt{30}$, возведем оба положительных числа в квадрат:

$A^2 = (3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

$B^2 = (\sqrt{30})^2 = 30$

Так как $27 < 30, то $A^2 < B^2, следовательно, $A < B.

Ответ: $A < B$.

б)

Упростим выражение A, приведя дроби к общему знаменателю:

$A = \frac{2}{4 + 2\sqrt{5}} - \frac{2}{4 - 2\sqrt{5}} = \frac{2(4 - 2\sqrt{5}) - 2(4 + 2\sqrt{5})}{(4 + 2\sqrt{5})(4 - 2\sqrt{5})}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $8 - 4\sqrt{5} - (8 + 4\sqrt{5}) = 8 - 4\sqrt{5} - 8 - 4\sqrt{5} = -8\sqrt{5}$

Знаменатель: $4^2 - (2\sqrt{5})^2 = 16 - 4 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Таким образом, $A = \frac{-8\sqrt{5}}{-4} = 2\sqrt{5}.

Теперь сравним $A = 2\sqrt{5}$ и $B = \sqrt{24}.

Возведем оба положительных числа в квадрат:

$A^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$B^2 = (\sqrt{24})^2 = 24$

Так как $20 < 24, то $A^2 < B^2, следовательно, $A < B.

Ответ: $A < B$.

в)

Упростим выражение A, приведя дроби к общему знаменателю:

$A = \frac{3}{2\sqrt{6} - 3} + \frac{3}{2\sqrt{6} + 3} = \frac{3(2\sqrt{6} + 3) + 3(2\sqrt{6} - 3)}{(2\sqrt{6} - 3)(2\sqrt{6} + 3)}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $6\sqrt{6} + 9 + 6\sqrt{6} - 9 = 12\sqrt{6}$

Знаменатель: $(2\sqrt{6})^2 - 3^2 = 4 \cdot 6 - 9 = 24 - 9 = 15$

Таким образом, $A = \frac{12\sqrt{6}}{15} = \frac{4\sqrt{6}}{5}.

Теперь сравним $A = \frac{4\sqrt{6}}{5}$ и $B = \sqrt{3}.

Возведем оба положительных числа в квадрат:

$A^2 = \left(\frac{4\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{16 \cdot 6}{25} = \frac{96}{25} = 3.84$

$B^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Так как $3.84 > 3, то $A^2 > B^2, следовательно, $A > B.

Ответ: $A > B$.

г)

Упростим выражение A, приведя дроби к общему знаменателю:

$A = \frac{1}{2 + 3\sqrt{2}} - \frac{1}{2 - 3\sqrt{2}} = \frac{(2 - 3\sqrt{2}) - (2 + 3\sqrt{2})}{(2 + 3\sqrt{2})(2 - 3\sqrt{2})}$

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: $2 - 3\sqrt{2} - 2 - 3\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$

Знаменатель: $2^2 - (3\sqrt{2})^2 = 4 - 9 \cdot 2 = 4 - 18 = -14$

Таким образом, $A = \frac{-6\sqrt{2}}{-14} = \frac{3\sqrt{2}}{7}.

Теперь сравним $A = \frac{3\sqrt{2}}{7}$ и $B = \sqrt{2}.

Так как $\sqrt{2} > 0, мы можем сравнить коэффициенты при $\sqrt{2}.

Для A коэффициент равен $\frac{3}{7}$, а для B он равен 1.

Поскольку $\frac{3}{7} < 1, то $\frac{3\sqrt{2}}{7} < \sqrt{2}, следовательно, $A < B.

Ответ: $A < B$.