Номер 16.98, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.98, страница 91.

Условие.

Проверьте равенство:

16.98 а) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 1;$

б) $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} + \sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы проверить равенство $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 1$, необходимо упростить левую часть. Для этого преобразуем выражения под корнями, выделив полные квадраты по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$. Представим $4\sqrt{5}$ как $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5}$. Тогда в качестве $a$ и $b$ можно взять $2$ и $\sqrt{5}$. Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5})^2 = 4 + 5 = 9$. Это совпадает с целой частью подкоренного выражения.Значит, $9 - 4\sqrt{5} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (2 - \sqrt{5})^2$.Тогда $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}|$.Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, то $2 - \sqrt{5} < 0$. Следовательно, $|2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$.
Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$. Представим $6\sqrt{5}$ как $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}$. Тогда в качестве $a$ и $b$ можно взять $3$ и $\sqrt{5}$. Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14$. Это совпадает с целой частью подкоренного выражения.Значит, $14 - 6\sqrt{5} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = (3 - \sqrt{5})^2$.Тогда $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = |3 - \sqrt{5}|$.Так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{5}$, то $3 - \sqrt{5} > 0$. Следовательно, $|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$.
Теперь подставим полученные значения в левую часть исходного равенства:$(\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = 1$.В результате получили $1 = 1$, что подтверждает верность равенства.
Ответ: равенство верно.

б) Чтобы проверить равенство $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} + \sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = 1$, воспользуемся тем же методом, что и в пункте а).
Рассмотрим первое слагаемое $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$. Представим $4\sqrt{7}$ как $2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7}$. Пусть $a=2$ и $b=\sqrt{7}$. Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{7})^2 = 4 + 7 = 11$.Значит, $11 - 4\sqrt{7} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (2 - \sqrt{7})^2$.Тогда $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}} = \sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}|$.Так как $2 = \sqrt{4}$ и $\sqrt{4} < \sqrt{7}$, то $2 - \sqrt{7} < 0$. Следовательно, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.
Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}$. Представим $6\sqrt{7}$ как $2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}$. Пусть $a=3$ и $b=\sqrt{7}$. Проверим сумму их квадратов: $a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$.Значит, $16 - 6\sqrt{7} = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (3 - \sqrt{7})^2$.Тогда $\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$.Так как $3 = \sqrt{9}$ и $\sqrt{9} > \sqrt{7}$, то $3 - \sqrt{7} > 0$. Следовательно, $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.
Подставим упрощенные выражения в левую часть исходного равенства:$(\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$.В результате получили $1 = 1$, что подтверждает верность равенства.
Ответ: равенство верно.