Номер 16.97, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.97, страница 91.

Условие.

16.97 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{1}{4} \cdot (xa^{-1} - ax^{-1}) \cdot \left(\frac{a^{-1} - x^{-1}}{a^{-1} + x^{-1}} - \frac{a^{-1} + x^{-1}}{a^{-1} - x^{-1}}\right)$

при $a = \sqrt{2} + \sqrt{3}, x = 0,2(13)$;

б) $ \frac{1 + ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}} \cdot \frac{a^{-1}}{a^{-1}x - ax^{-1}} : \frac{ax^{-1}}{x - a} \cdot x^{-2}$

при $a = -2,785, x = \sqrt{13} - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a)

Для нахождения значения выражения $ \frac{1}{4} \cdot (xa^{-1} - ax^{-1}) \cdot \left( \frac{a^{-1} - x^{-1}}{a^{-1} + x^{-1}} - \frac{a^{-1} + x^{-1}}{a^{-1} - x^{-1}} \right) $ сначала упростим его, выполняя действия по шагам.

1. Упростим выражение в первой скобке, используя определение степени с отрицательным показателем ($ y^{-n} = \frac{1}{y^n} $):
$ xa^{-1} - ax^{-1} = x \cdot \frac{1}{a} - a \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{a} - \frac{a}{x} = \frac{x^2 - a^2}{ax} $.

2. Упростим выражение во второй скобке. Сначала преобразуем числители и знаменатели дробей:
$ a^{-1} - x^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{1}{x} = \frac{x-a}{ax} $
$ a^{-1} + x^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{x} = \frac{x+a}{ax} $
Подставим эти выражения в дроби внутри скобок:
$ \frac{a^{-1} - x^{-1}}{a^{-1} + x^{-1}} = \frac{\frac{x-a}{ax}}{\frac{x+a}{ax}} = \frac{x-a}{x+a} $
$ \frac{a^{-1} + x^{-1}}{a^{-1} - x^{-1}} = \frac{\frac{x+a}{ax}}{\frac{x-a}{ax}} = \frac{x+a}{x-a} $

3. Выполним вычитание дробей во второй скобке, приведя их к общему знаменателю $ (x+a)(x-a) = x^2-a^2 $:
$ \frac{x-a}{x+a} - \frac{x+a}{x-a} = \frac{(x-a)^2 - (x+a)^2}{(x+a)(x-a)} = \frac{(x^2 - 2ax + a^2) - (x^2 + 2ax + a^2)}{x^2 - a^2} $
$ = \frac{x^2 - 2ax + a^2 - x^2 - 2ax - a^2}{x^2 - a^2} = \frac{-4ax}{x^2 - a^2} $.

4. Теперь подставим упрощенные выражения в исходное:
$ \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{x^2 - a^2}{ax} \right) \cdot \left( \frac{-4ax}{x^2 - a^2} \right) $
Сократим полученное выражение:
$ \frac{1 \cdot (x^2 - a^2) \cdot (-4ax)}{4 \cdot ax \cdot (x^2 - a^2)} = -1 $.

Результат упрощения - константа, равная -1. Это означает, что значение выражения не зависит от конкретных значений переменных $ a $ и $ x $, если выражение определено (т.е. знаменатели не обращаются в ноль). Для данных $ a = \sqrt{2 + \sqrt{3}} $ и $ x = 0.2(13) $ все условия выполнимы.

Ответ: -1.

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{1 + ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}} \cdot \frac{a^{-1}}{a^{-1}x - ax^{-1}} : \frac{ax^{-1}}{x-a} \cdot x^{-2} $.
Упростим его, выполняя действия последовательно слева направо.

1. Упростим первый множитель $ \frac{1 + ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}} $:
$ \frac{1 + ax^{-1}}{a^{-1}x^{-1}} = \frac{1 + \frac{a}{x}}{\frac{1}{ax}} = \frac{\frac{x+a}{x}}{\frac{1}{ax}} = \frac{x+a}{x} \cdot (ax) = a(x+a) $.

2. Упростим второй множитель $ \frac{a^{-1}}{a^{-1}x - ax^{-1}} $:
$ \frac{a^{-1}}{a^{-1}x - ax^{-1}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{x}{a} - \frac{a}{x}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{x^2 - a^2}{ax}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{ax}{x^2-a^2} = \frac{x}{x^2-a^2} = \frac{x}{(x-a)(x+a)} $.

3. Выполним первое умножение (результат шага 1 умножить на результат шага 2):
$ a(x+a) \cdot \frac{x}{(x-a)(x+a)} = \frac{a(x+a)x}{(x-a)(x+a)} = \frac{ax}{x-a} $ (при $ x+a \neq 0 $).

4. Выполним деление. Разделим результат шага 3 на $ \frac{ax^{-1}}{x-a} $. Сначала преобразуем делитель: $ \frac{ax^{-1}}{x-a} = \frac{a/x}{x-a} = \frac{a}{x(x-a)} $.
$ \frac{ax}{x-a} : \frac{a}{x(x-a)} = \frac{ax}{x-a} \cdot \frac{x(x-a)}{a} = x \cdot x = x^2 $ (при $ a \neq 0, x \neq a $).

5. Выполним последнее умножение: результат шага 4 умножим на $ x^{-2} $.
$ x^2 \cdot x^{-2} = x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 1 $ (при $ x \neq 0 $).

Итоговое значение выражения равно 1. Оно не зависит от заданных значений $ a = -2.785 $ и $ x = \sqrt{13} - 1 $, так как при этих значениях выражение имеет смысл (знаменатели не равны нулю).

Ответ: 1.