Номер 16.96, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.96, страница 91.

Условие.

16.96 a) $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

б) $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$

в) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$

г) $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$, представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись два условия: $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$.
Из второго уравнения получаем $ab = 2\sqrt{3}$. Можно предположить, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.
Проверим, выполняется ли первое условие: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Условие выполняется.
Таким образом, подкоренное выражение можно записать как $7 + 4\sqrt{3} = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}|$.
Поскольку выражение $2 + \sqrt{3}$ положительное, модуль можно опустить.
Ответ: $2 + \sqrt{3}$.

б)Для упрощения выражения $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$ представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись два условия: $a^2 + b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$.
Из второго уравнения получаем $ab = \sqrt{2}$. Можно предположить, что $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.
Проверим, выполняется ли первое условие: $a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$. Условие выполняется.
Таким образом, $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$, поэтому модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{2} - 1$.

в)Для упрощения выражения $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, чтобы $a^2 + b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3}$.
Из второго уравнения $ab = 2\sqrt{3}$. Как и в пункте а), подходят значения $a=2$ и $b=\sqrt{3}$.
Проверим первое условие: $a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$. Условие выполняется.
Таким образом, $7 - 4\sqrt{3} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 - \sqrt{3})^2$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$.
Чтобы снять модуль, сравним $2$ и $\sqrt{3}$. Поскольку $2^2=4$ и $(\sqrt{3})^2=3$, то $4>3$, следовательно $2 > \sqrt{3}$. Значит, $2 - \sqrt{3} > 0$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

г)Для упрощения выражения $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ представим подкоренное выражение в виде полного квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы ищем такие $a$ и $b$, чтобы $a^2 + b^2 = 3$ и $2ab = 2\sqrt{2}$.
Из второго уравнения $ab = \sqrt{2}$. Как и в пункте б), подходят значения $a=\sqrt{2}$ и $b=1$.
Проверим первое условие: $a^2 + b^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$. Условие выполняется.
Таким образом, $3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = |\sqrt{2} + 1|$.
Поскольку выражение $\sqrt{2} + 1$ положительное, модуль можно опустить.
Ответ: $\sqrt{2} + 1$.