Номер 16.88, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.88, страница 90.

Условие.

16.88 Верно ли равенство? Ответ объясните.

a) $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 5;$

б) $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = 5 - \sqrt{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы проверить верность равенств, необходимо либо упростить левую часть, либо возвести обе части в квадрат, предварительно убедившись в их неотрицательности.

а) Проверим равенство $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 5$.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) является неотрицательным числом. Следовательно, значение выражения в левой части, $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}}$, должно быть больше или равно нулю.
Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{3} - 5$. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $5$. Для этого сравним их квадраты:
$(\sqrt{3})^2 = 3$
$5^2 = 25$
Поскольку $3 < 25$, то $\sqrt{3} < 5$.
Следовательно, разность $\sqrt{3} - 5$ является отрицательным числом.
Левая часть равенства — неотрицательное число, а правая — отрицательное. Равенство не может быть верным.

Ответ: равенство неверно.

б) Проверим равенство $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}} = 5 - \sqrt{3}$.

Как и в предыдущем пункте, левая часть $\sqrt{28 - 10\sqrt{3}}$ является неотрицательным числом.
Проверим знак правой части $5 - \sqrt{3}$. Мы уже установили, что $5 > \sqrt{3}$, поэтому разность $5 - \sqrt{3}$ является положительным числом.
Поскольку обе части равенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Если квадраты левой и правой частей равны, то и исходное равенство верно.
Квадрат левой части:
$(\sqrt{28 - 10\sqrt{3}})^2 = 28 - 10\sqrt{3}$.
Квадрат правой части (используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$):
$(5 - \sqrt{3})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 25 - 10\sqrt{3} + 3 = 28 - 10\sqrt{3}$.
Так как квадраты обеих частей равны ($28 - 10\sqrt{3} = 28 - 10\sqrt{3}$) и обе части исходного равенства неотрицательны, то равенство является верным.

Ответ: равенство верно.