Номер 16.83, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.83, страница 89.

Условие.

16.83 a) $\sqrt{\frac{1}{6}} + \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{54};$

б) $0,1\sqrt{140} - \sqrt{\frac{7}{5}} - \sqrt{\frac{5}{7}};$

в) $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{2}{9}} - \sqrt{\frac{9}{2}};$

г) $\sqrt{\frac{1}{14}} + 2\sqrt{\frac{2}{7}} - \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{14}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $\sqrt{\frac{1}{6}} + \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{54}$

Чтобы упростить выражение, приведем все слагаемые к виду $k\sqrt{n}$, где $n$ — одинаковое для всех членов число. В данном случае удобно привести все к $\sqrt{6}$.

1. Упростим каждый член выражения, избавляясь от иррациональности в знаменателе:

$\sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{6}}{6} + \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} - 3\sqrt{6}$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{6}$ за скобки и сложим коэффициенты:

$\sqrt{6} \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 3\right)$

4. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 6:

$\sqrt{6} \left(\frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{18}{6}\right) = \sqrt{6} \left(\frac{1+3+2-18}{6}\right) = \sqrt{6} \left(\frac{6-18}{6}\right) = \sqrt{6} \left(\frac{-12}{6}\right) = -2\sqrt{6}$

Ответ: $-2\sqrt{6}$

б) $0,1\sqrt{140} - \sqrt{\frac{7}{5}} - \sqrt{\frac{5}{7}}$

Упростим каждый член выражения, чтобы выделить общий радикал. Заметим, что $140 = 4 \cdot 35$, а в других членах есть 5 и 7, что намекает на общий радикал $\sqrt{35}$.

1. Упростим каждый член:

$0,1\sqrt{140} = 0,1\sqrt{4 \cdot 35} = 0,1 \cdot 2\sqrt{35} = 0,2\sqrt{35}$

$\sqrt{\frac{7}{5}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

$\sqrt{\frac{5}{7}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{35}}{7}$

2. Подставим упрощенные значения:

$0,2\sqrt{35} - \frac{\sqrt{35}}{5} - \frac{\sqrt{35}}{7}$

3. Представим $0,2$ в виде дроби $\frac{1}{5}$ и вынесем общий множитель $\sqrt{35}$ за скобки:

$\sqrt{35} \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)$

4. Выполним действия в скобках:

$\sqrt{35} \left(0 - \frac{1}{7}\right) = -\frac{1}{7}\sqrt{35} = -\frac{\sqrt{35}}{7}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{35}}{7}$

в) $\sqrt{18} - \sqrt{\frac{2}{9}} - \sqrt{\frac{9}{2}}$

Приведем все члены выражения к общему подкоренному выражению, которым, судя по всему, будет 2.

1. Упростим каждый член:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

$\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

2. Подставим упрощенные значения в выражение:

$3\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки:

$\sqrt{2} \left(3 - \frac{1}{3} - \frac{3}{2}\right)$

4. Приведем числа в скобках к общему знаменателю 6:

$\sqrt{2} \left(\frac{18}{6} - \frac{2}{6} - \frac{9}{6}\right) = \sqrt{2} \left(\frac{18 - 2 - 9}{6}\right) = \sqrt{2} \left(\frac{7}{6}\right) = \frac{7\sqrt{2}}{6}$

Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{6}$

г) $\sqrt{\frac{1}{14}} + 2\sqrt{\frac{2}{7}} - \sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{14}$

Упростим каждый член выражения, приведя их к общему радикалу $\sqrt{14}$.

1. Упростим каждый член:

$\sqrt{\frac{1}{14}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{14}} = \frac{1 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{14}$

$2\sqrt{\frac{2}{7}} = 2 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = 2 \frac{\sqrt{2}\sqrt{7}}{7} = \frac{2\sqrt{14}}{7}$

$\sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$

2. Подставим упрощенные значения в выражение:

$\frac{\sqrt{14}}{14} + \frac{2\sqrt{14}}{7} - \frac{\sqrt{14}}{2} - \sqrt{14}$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{14}$ за скобки:

$\sqrt{14} \left(\frac{1}{14} + \frac{2}{7} - \frac{1}{2} - 1\right)$

4. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 14:

$\sqrt{14} \left(\frac{1}{14} + \frac{4}{14} - \frac{7}{14} - \frac{14}{14}\right) = \sqrt{14} \left(\frac{1 + 4 - 7 - 14}{14}\right) = \sqrt{14} \left(\frac{5 - 21}{14}\right) = \sqrt{14} \left(\frac{-16}{14}\right) = -\frac{8\sqrt{14}}{7}$

Ответ: $-\frac{8\sqrt{14}}{7}$