Номер 16.87, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.87, страница 90.

Условие.

16.87 a) Докажите, что $(1 - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Можно ли на основании этого утверждать, что $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = 1 - \sqrt{2}$?

б) Докажите, что $(\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Можно ли на основании этого утверждать, что $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Сначала докажем, что $(1 - \sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 1$ и $b = \sqrt{2}$.
$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Равенство доказано.

Теперь ответим на вопрос: можно ли на основании этого утверждать, что $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = 1 - \sqrt{2}$?
По определению, арифметический квадратный корень из числа $x$ (обозначается $\sqrt{x}$) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$.
Оценим знак выражения в правой части равенства: $1 - \sqrt{2}$.
Мы знаем, что $\sqrt{1} = 1$ и $\sqrt{4} = 2$. Так как $1 < 2 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{2} < \sqrt{4}$, что означает $1 < \sqrt{2}$.
Следовательно, разность $1 - \sqrt{2}$ является отрицательным числом: $1 - \sqrt{2} < 0$.
Левая часть равенства, $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$, является арифметическим квадратным корнем и, по определению, не может быть отрицательной. Правая часть, $1 - \sqrt{2}$, отрицательна. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: Нет, утверждать нельзя, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным числом, а выражение $1 - \sqrt{2}$ отрицательно.

б)

Докажем, что $(\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$. Снова используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{2}$ и $b = 1$.
$(\sqrt{2} - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Равенство доказано.

Теперь ответим на вопрос: можно ли на основании этого утверждать, что $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$?
Мы доказали, что $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$. Значит, $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2}$.
По свойству корней, $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, $\sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1|$.
Оценим знак выражения $\sqrt{2} - 1$. Так как $\sqrt{2} > 1$, разность $\sqrt{2} - 1$ является положительным числом: $\sqrt{2} - 1 > 0$.
Поскольку выражение $\sqrt{2} - 1$ положительно, его модуль равен самому выражению: $|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$.
Таким образом, $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$. Это утверждение верно, так как и левая, и правая части равенства являются положительными числами.

Ответ: Да, утверждать можно, так как подкоренное выражение $3 - 2\sqrt{2}$ равно $(\sqrt{2}-1)^2$, а само выражение $\sqrt{2}-1$ является положительным, что соответствует определению арифметического квадратного корня.