Номер 16.86, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.86, страница 89.

Условие.

16.86 a) $(3 + 2\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})^2 = 1$;

б) $(\sqrt{3} - 1)^2(4 + 2\sqrt{3}) = 4$;

в) $(7 + 4\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})^2 = 1$;

г) $(\sqrt{2} - 3)^2(11 + 6\sqrt{2}) = 49.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы доказать тождество $(3 + 2\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})^2 = 1$, преобразуем левую часть выражения.
Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})$.
Это выражение является произведением суммы и разности двух выражений, которое по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ равно:
$3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1$.
В результате преобразований мы получили $1$, что равно правой части тождества. Таким образом, $1=1$.

Ответ: тождество верно.

б)

Чтобы доказать тождество $(\sqrt{3} - 1)^2(4 + 2\sqrt{3}) = 4$, преобразуем левую часть выражения.
Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3})$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :
$4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$.
В результате преобразований мы получили $4$, что равно правой части тождества. Таким образом, $4=4$.

Ответ: тождество верно.

в)

Чтобы доказать тождество $(7 + 4\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})^2 = 1$, преобразуем левую часть выражения.
Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :
$7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.
В результате преобразований мы получили $1$, что равно правой части тождества. Таким образом, $1=1$.

Ответ: тождество верно.

г)

Чтобы доказать тождество $(\sqrt{2} - 3)^2(11 + 6\sqrt{2}) = 49$, преобразуем левую часть выражения.
Сначала раскроем скобки с квадратом, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(\sqrt{2} - 3)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = 2 - 6\sqrt{2} + 9 = 11 - 6\sqrt{2}$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(11 - 6\sqrt{2})(11 + 6\sqrt{2})$.
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :
$11^2 - (6\sqrt{2})^2 = 121 - (36 \cdot 2) = 121 - 72 = 49$.
В результате преобразований мы получили $49$, что равно правой части тождества. Таким образом, $49=49$.

Ответ: тождество верно.