Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Как называют график функции $y = kx^2$, где $k \neq 0$?

График функции, заданной уравнением $y = kx^2$ при условии, что коэффициент $k \neq 0$, называется параболой.

Это частный случай квадратичной функции, и её график представляет собой симметричную U-образную кривую.

Ключевые характеристики этой параболы:

- Вершина: всегда находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
- Симметрия: график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
- Направление ветвей: зависит от знака коэффициента $k$. Если $k > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $k < 0$, ветви направлены вниз.
- Форма: абсолютное значение коэффициента $|k|$ влияет на "ширину" графика. Чем больше $|k|$, тем парабола "уже" (более вытянута вдоль оси $Oy$). Чем меньше $|k|$ (при $0 < |k| < 1$), тем парабола "шире".

Ответ: парабола.

3. Какая точка является вершиной графика функции $y = kx^2$?

Функция, заданная формулой $y = kx^2$ (при условии, что $k \neq 0$), является квадратичной функцией. Графиком такой функции является парабола. Вершина параболы — это её точка экстремума (минимума или максимума), которая также является точкой, через которую проходит ось симметрии графика.

Чтобы найти координаты вершины, можно воспользоваться общей формулой для параболы вида $y = ax^2 + bx + c$. Координата $x$ вершины, обозначаемая как $x_0$, вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем уравнении $y = kx^2$ мы можем определить коэффициенты, сравнивая его с общей формой: $a=k$, $b=0$ и $c=0$.
Теперь вычислим абсциссу (координату $x$) вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2k} = 0$
Для нахождения ординаты (координаты $y$) вершины, $y_0$, подставим полученное значение $x_0 = 0$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = k \cdot (0)^2 = k \cdot 0 = 0$

Таким образом, вершина параболы $y = kx^2$ находится в точке с координатами $(0, 0)$.

К этому же выводу можно прийти, проанализировав свойства функции. Функция $y = kx^2$ является чётной, так как для любого значения $x$ выполняется равенство $k(-x)^2 = kx^2$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси OY (оси ординат). Поскольку вершина параболы всегда лежит на её оси симметрии, её абсцисса должна быть равна нулю. Подставив $x=0$ в уравнение, мы также получаем $y=0$.

Ответ: вершиной графика функции $y = kx^2$ является начало координат — точка $(0, 0)$.

5. Если $k > 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = kx^2$ возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

б) функция $y = kx^2$ возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, проанализируем поведение функции $y = kx^2$ при условии $k > 0$.

Данная функция является квадратичной, ее график — это парабола с вершиной в начале координат, в точке $(0, 0)$. Поскольку коэффициент $k$ перед $x^2$ положителен ($k > 0$), ветви параболы направлены вверх.

У параболы с ветвями, направленными вверх, есть точка минимума — ее вершина. До вершины (слева от нее) функция убывает, а после вершины (справа от нее) функция возрастает.

• На промежутке $(-\infty, 0]$, то есть при $x \le 0$, функция убывает.
• На промежутке $[0, +\infty)$, то есть при $x \ge 0$, функция возрастает.

Это можно также показать с помощью производной. Найдем производную функции $y(x) = kx^2$:

$y' = (kx^2)' = 2kx$

Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$. Так как $k > 0$, неравенство $2kx > 0$ выполняется при $x > 0$. Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$. Так как $k > 0$, неравенство $2kx < 0$ выполняется при $x < 0$.

Теперь проверим каждое из предложенных утверждений.

а) функция y = kx² возрастает при x ≥ 0 и убывает при x ≤ 0;
Это утверждение полностью соответствует результатам нашего анализа. Функция действительно убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
Ответ: утверждение верно.

б) функция y = kx² возрастает при x ≥ 0 и возрастает при x ≤ 0;
Это утверждение неверно, так как при $x \le 0$ функция убывает, а не возрастает.
Ответ: утверждение неверно.

в) функция y = kx² убывает при x ≥ 0 и убывает при x ≤ 0;
Это утверждение неверно, так как при $x \ge 0$ функция возрастает, а не убывает.
Ответ: утверждение неверно.

г) функция y = kx² убывает при x ≥ 0 и возрастает при x ≤ 0?
Это утверждение неверно. Оно описывало бы поведение параболы с ветвями, направленными вниз (то есть при $k < 0$), что противоречит условию задачи.
Ответ: утверждение неверно.

7. Чему равны $y_{\text{наим}}$ и $y_{\text{наиб}}$ для функции $y = kx^2$, если $k > 0$?

Чему равны $y_{\text{наим}}$ и $y_{\text{наиб}}$ для функции $y = kx^2$, если $k < 0$?

Чему равны $y_{наим}$ и $y_{наиб}$ для функции $y = kx^2$, если $k > 0$?

Рассмотрим функцию $y = kx^2$ при условии $k > 0$. Графиком данной функции является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Поскольку коэффициент $k$ положителен, ветви параболы направлены вверх.

1. Наименьшее значение ($y_{наим}$): Выражение $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$). Так как $k > 0$, то произведение $kx^2$ также будет всегда больше или равно нулю ($kx^2 \ge 0$). Самое маленькое значение, которое может принять $y$, достигается, когда $x^2$ минимально, то есть при $x=0$.
$y_{наим} = k \cdot 0^2 = 0$.
Таким образом, наименьшее значение функции равно 0.

2. Наибольшее значение ($y_{наиб}$): Поскольку ветви параболы уходят вверх в бесконечность, значения функции $y$ могут быть сколь угодно большими. Когда $x$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$, $y$ стремится к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху, и у нее нет наибольшего значения.

Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб}$ не существует.

Чему равны $y_{наим}$ и $y_{наиб}$ для функции $y = kx^2$, если $k < 0$?

Рассмотрим функцию $y = kx^2$ при условии $k < 0$. Графиком этой функции также является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Но так как коэффициент $k$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

1. Наибольшее значение ($y_{наиб}$): Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Поскольку $k < 0$, произведение $kx^2$ будет всегда меньше или равно нулю ($kx^2 \le 0$). Самое большое значение, которое может принять $y$, достигается, когда $x^2$ минимально, то есть при $x=0$.
$y_{наиб} = k \cdot 0^2 = 0$.
Таким образом, наибольшее значение функции равно 0.

2. Наименьшее значение ($y_{наим}$): Поскольку ветви параболы уходят вниз в бесконечность, значения функции $y$ могут быть сколь угодно малыми (сколь угодно большими по модулю отрицательными числами). Когда $x$ стремится к $+\infty$ или $-\infty$, $y$ стремится к $-\infty$. Это означает, что функция не ограничена снизу, и у нее нет наименьшего значения.

Ответ: $y_{наим}$ не существует, $y_{наиб} = 0$.

9. Какую функцию называют ограниченной сверху?

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве $X$ (которое является подмножеством области определения функции, $X \subset D(f)$), если существует такое число $M$, что для любого значения аргумента $x$ из множества $X$ выполняется неравенство:

$f(x) \le M$

Простыми словами, это означает, что значения функции никогда не превышают некоторую "планку", заданную числом $M$. Это число $M$ называют верхней гранью для функции $f(x)$ на множестве $X$. Важно отметить, что если у функции есть одна верхняя грань $M$, то у нее их бесконечно много (например, любое число, большее $M$, также будет верхней гранью).

Геометрическая интерпретация:

График функции, ограниченной сверху, целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой $y=M$. Эта прямая служит "потолком" для графика функции.

Примеры:

• Функция $y = -x^2 + 3$. Ее значения никогда не превысят 3. Максимальное значение достигается при $x=0$ и равно $y(0)=3$. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $-x^2+3 \le 3$. В данном случае в качестве $M$ можно взять число 3 (или любое число больше 3, например, 4 или 10).
• Функция $y = \sin(x)$. Мы знаем, что для любого действительного $x$ выполняется $-1 \le \sin(x) \le 1$. Следовательно, $\sin(x) \le 1$. Эта функция ограничена сверху числом $M=1$.
• Контрпример (неограниченная сверху функция): Функция $y = x^2$ не является ограниченной сверху на всей числовой оси, так как ее значения могут быть сколь угодно большими (она "уходит в бесконечность").

Ответ: Функцию называют ограниченной сверху, если существует такое число $M$, которое больше или равно всем значениям этой функции на всей ее области определения (или на заданном множестве). Иными словами, все значения функции $f(x)$ удовлетворяют неравенству $f(x) \le M$.

11. Как по графику функции установить, является ли она ограниченной сверху?

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Геометрически это означает, что можно найти такую горизонтальную прямую $y = M$, что весь график функции будет расположен ниже этой прямой или, в крайнем случае, будет её касаться, но ни в одной точке не будет её пересекать и уходить выше.

Таким образом, чтобы по графику установить, является ли функция ограниченной сверху, необходимо выполнить следующие действия:

1. Визуально оценить, уходит ли график функции "вверх в бесконечность" при движении вдоль оси $x$.
2. Если график не уходит в бесконечность вверх, а как бы "прижат" сверху невидимой горизонтальной линией, то функция является ограниченной сверху.
3. Если же график уходит вверх бесконечно (как, например, у параболы $y = x^2$ или экспоненты $y = e^x$), то провести такую горизонтальную прямую, чтобы весь график оказался под ней, невозможно. В этом случае функция не является ограниченной сверху.

Пример 1 (функция ограничена сверху): График функции $y = \sin(x)$. Все значения этой функции лежат в отрезке $[-1, 1]$. Можно провести горизонтальную прямую $y=1$ (или любую прямую $y=M$ при $M \ge 1$), и весь график будет лежать ниже этой прямой. Следовательно, функция ограничена сверху.

Пример 2 (функция не ограничена сверху): График функции $y = \ln(x)$. При $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают. Невозможно провести такую горизонтальную прямую, чтобы весь график оказался под ней. Следовательно, функция не ограничена сверху.

Ответ: Чтобы по графику установить, является ли функция ограниченной сверху, нужно проверить, можно ли провести горизонтальную прямую так, чтобы весь график функции оказался ниже этой прямой. Если такую прямую провести можно, то функция ограничена сверху; если нет — то не ограничена.

2. Какая прямая является осью симметрии графика функции $y = kx^2$?

Функция $y = kx^2$ (при $k \neq 0$) является квадратичной функцией, график которой — парабола.

Ось симметрии параболы — это прямая, которая делит параболу на две одинаковые, зеркально отраженные друг от друга ветви. Эта прямая всегда проходит через вершину параболы.

Вершина параболы вида $y = kx^2$ всегда находится в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$. Следовательно, ось симметрии должна проходить через эту точку.

Чтобы найти ось симметрии, можно также проверить функцию на четность. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции всегда симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Проверим нашу функцию $y(x) = kx^2$:

$y(-x) = k(-x)^2 = k(x^2) = kx^2$

Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

Уравнение оси OY (оси ординат) — это прямая $x = 0$.

Ответ: Осью симметрии графика функции $y = kx^2$ является ось ординат (ось OY), уравнение которой $x=0$.

4. Как расположены в координатной плоскости $xOy$ друг относительно друга графики функций $y = 3x^2$ и $y = -3x^2$?

Чтобы определить взаимное расположение графиков функций $y = 3x^2$ и $y = -3x^2$, проанализируем каждую из них и сравним их свойства.

Обе функции являются квадратичными, вида $y = ax^2$. Графиками таких функций являются параболы, вершины которых находятся в начале координат, в точке $(0, 0)$. Осью симметрии для обеих парабол является ось ординат ($Oy$).

Для функции $y = 3x^2$ коэффициент $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви этой параболы направлены вверх. Все точки графика, кроме вершины, лежат выше оси абсцисс ($Ox$), то есть в I и II координатных четвертях.

Для функции $y = -3x^2$ коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви этой параболы направлены вниз. Все точки графика, кроме вершины, лежат ниже оси абсцисс ($Ox$), то есть в III и IV координатных четвертях.

Теперь сравним значения ординат ($y$) для этих двух функций при одинаковом значении абсциссы ($x$). Если мы возьмем любую точку $(x_0, y_1)$ на графике первой функции, то $y_1 = 3x_0^2$. Для того же значения $x_0$ на втором графике мы получим точку $(x_0, y_2)$, где $y_2 = -3x_0^2$. Очевидно, что $y_2 = -y_1$.

Геометрически это означает, что каждая точка второго графика может быть получена из соответствующей точки первого графика (с той же абсциссой) путем зеркального отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Следовательно, графики данных функций симметричны друг другу относительно оси $Ox$.

Ответ: Графики функций $y = 3x^2$ и $y = -3x^2$ — это две параболы, которые симметричны друг другу относительно оси абсцисс ($Ox$). Обе параболы имеют общую вершину в начале координат $(0, 0)$ и общую ось симметрии — ось ординат ($Oy$). Ветви параболы $y = 3x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -3x^2$ — вниз.

6. Если $k < 0$, то какое из утверждений верно:

а) функция $y = kx^2$ возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

б) функция $y = kx^2$ возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, проанализируем свойства квадратичной функции $y = kx^2$ при заданном условии $k < 0$.

График функции $y = kx^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, в точке $(0, 0)$. Поскольку по условию коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), ветви этой параболы направлены вниз. Это означает, что в точке $x = 0$ функция достигает своего максимального значения, равного $0$.

Определим промежутки возрастания и убывания функции, основываясь на этом свойстве и определении монотонности.

г) функция $y = kx^2$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$

Данное утверждение является верным. Докажем это.

1. Рассмотрим промежуток $x \le 0$ (левая ветвь параболы).

Функция называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_1 < x_2 \le 0$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ неположительные, то при возведении в квадрат знак неравенства изменится: $x_1^2 > x_2^2$. Теперь умножим обе части неравенства на коэффициент $k$. Так как по условию $k < 0$, знак неравенства снова изменится на противоположный: $k x_1^2 < k x_2^2$. Это означает, что $y(x_1) < y(x_2)$. Таким образом, функция $y = kx^2$ возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$.

2. Рассмотрим промежуток $x \ge 0$ (правая ветвь параболы).

Функция называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Возьмём две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ такие, что $0 \le x_1 < x_2$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ неотрицательные, то при возведении в квадрат знак неравенства сохранится: $x_1^2 < x_2^2$. Умножим обе части неравенства на коэффициент $k$. Так как $k < 0$, знак неравенства изменится на противоположный: $k x_1^2 > k x_2^2$. Это означает, что $y(x_1) > y(x_2)$. Таким образом, функция $y = kx^2$ убывает на промежутке $[0, \infty)$.

Вывод: Утверждение в пункте г) полностью и верно описывает поведение функции $y = kx^2$ при $k < 0$. Остальные утверждения являются неверными, так как противоречат проведенному анализу.

Ответ: г

8. Какую функцию называют ограниченной снизу?

Функция $y=f(x)$, определенная на некотором множестве $X$, называется ограниченной снизу на этом множестве, если существует такое число $m$, что для всех значений аргумента $x$ из множества $X$ выполняется неравенство:

$f(x) \ge m$

Это означает, что все значения, которые принимает функция, больше или равны некоторому числу $m$. Это число $m$ называется нижней границей функции.

Геометрически это означает, что весь график функции $y=f(x)$ на множестве $X$ лежит не ниже горизонтальной прямой $y=m$.

Пример:

Рассмотрим параболу $f(x) = x^2 + 3$. Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел $D(f) = \mathbb{R}$.

Мы знаем, что $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Следовательно:

$x^2 + 3 \ge 0 + 3$

$f(x) \ge 3$

Таким образом, существует число $m=3$, такое, что для любого $x$ значение функции $f(x)$ не меньше 3. Это означает, что функция $f(x) = x^2 + 3$ ограничена снизу числом 3. Числа 2, 0, -10 также являются ее нижними границами, но 3 является ее точной нижней гранью (наибольшей из всех нижних границ).

Другие примеры функций, ограниченных снизу: $y=|x|$ (ограничена снизу числом 0), $y=e^x$ (ограничена снизу числом 0).

Ответ: Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что все значения функции не меньше этого числа, то есть для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

10. Как по графику функции установить, является ли она ограниченной снизу?

Чтобы по графику функции определить, является ли она ограниченной снизу, необходимо проверить, можно ли провести горизонтальную прямую так, чтобы весь график функции находился выше этой прямой.

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

С геометрической точки зрения это означает, что можно найти такую горизонтальную прямую $y = m$, что весь график функции расположен не ниже этой прямой. Эта прямая как бы служит "полом", ниже которого график не опускается.

Алгоритм проверки по графику:

1. Рассмотрите график функции. Обратите внимание на его поведение по вертикали (по оси $Oy$).
2. Мысленно проведите горизонтальную линию на графике.
3. Попробуйте переместить эту линию вниз. Если вы сможете найти такое положение для линии (например, на уровне $y=m$), что все без исключения точки графика функции будут находиться над этой линией или на ней, то функция ограничена снизу.
4. Если же график уходит бесконечно вниз (то есть, для некоторых $x$ значения $y$ стремятся к $-\infty$), то такой "пол" найти невозможно, и функция не является ограниченной снизу.

Пример: Парабола $y = x^2$ ограничена снизу, так как весь её график лежит выше горизонтальной прямой $y=0$ (оси абсцисс). Здесь можно взять $m=0$. А функция $y = -x^2$ не ограничена снизу, так как её ветви уходят в минус бесконечность.

Ответ: Функция является ограниченной снизу, если существует горизонтальная прямая $y=m$, ниже которой не лежит ни одна точка графика функции. То есть, весь график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой.

18.3 a) Между любыми цифрами числа 123456789 можно поставить запятую. Сколько при этом получится десятичных дробей?

Какова вероятность того, что после вставки запятой получится число:

б) больше миллиона;

в) меньше ста;

г) дробная часть которого больше $0,3$?

а) В исходном числе 123456789 содержится 9 цифр. Запятую можно поставить между любыми двумя соседними цифрами. Количество таких позиций (промежутков между цифрами) равно количеству цифр минус один. Таким образом, существует $9 - 1 = 8$ возможных мест для постановки запятой. Каждое такое место создает уникальную десятичную дробь. Следовательно, всего можно получить 8 различных десятичных дробей.
Ответ: 8.

б) Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности $P = M/N$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию. В нашем случае общее число исходов $N=8$.
Нам нужно найти вероятность того, что полученное число будет больше миллиона ($1\,000\,000$). Число будет больше миллиона, если его целая часть будет содержать 7 или более цифр.
Рассмотрим все возможные варианты:

• 1,23456789
• 12,3456789
• 123,456789
• 1234,56789
• 12345,6789
• 123456,789
• 1234567,89 (больше $1\,000\,000$)
• 12345678,9 (больше $1\,000\,000$)

Два исхода являются благоприятными. Таким образом, $M=2$.
Вероятность равна $P = 2/8 = 1/4$.
Ответ: $1/4$.

в) Общее число исходов по-прежнему $N=8$. Нам нужно найти вероятность того, что полученное число будет меньше ста (100). Число будет меньше 100, если его целая часть будет содержать одну или две цифры.
Рассмотрим варианты:

• 1,23456789 (меньше 100)
• 12,3456789 (меньше 100)
• 123,456789 (больше 100)

Только первые два случая удовлетворяют условию. Таким образом, число благоприятных исходов $M=2$.
Вероятность равна $P = 2/8 = 1/4$.
Ответ: $1/4$.

г) Общее число исходов $N=8$. Нам нужно найти вероятность того, что дробная часть полученного числа будет больше 0,3. Дробная часть числа определяется цифрами, стоящими после запятой. Чтобы дробная часть была больше 0,3, первая цифра после запятой должна быть 3 или больше.
Рассмотрим, какая цифра оказывается первой после запятой в каждом из 8 случаев:

• 1,23456789 (дробная часть 0,23... < 0,3)
• 12,3456789 (дробная часть 0,34... > 0,3)
• 123,456789 (дробная часть 0,45... > 0,3)
• 1234,56789 (дробная часть 0,56... > 0,3)
• 12345,6789 (дробная часть 0,67... > 0,3)
• 123456,789 (дробная часть 0,789 > 0,3)
• 1234567,89 (дробная часть 0,89 > 0,3)
• 12345678,9 (дробная часть 0,9 > 0,3)

Условию удовлетворяют 7 из 8 случаев. Таким образом, число благоприятных исходов $M=7$.
Вероятность равна $P = 7/8$.
Ответ: $7/8$.

18.4 Дано выражение $\sqrt{n + 1}$. Значение переменной $n$ случайно выбирают среди целых чисел от 0 до 99 включительно.

a) Сколько всего значений может принять данное выражение?

б) Сколько среди них целых чисел?

в) Сколько среди них иррациональных чисел?

г) Сколько среди них чисел больше семи?

а) Сколько всего значений может принять данное выражение?
Переменная $n$ принимает целые значения от 0 до 99. Общее количество возможных значений для $n$ равно $99 - 0 + 1 = 100$. Выражение, которое мы рассматриваем, это $\sqrt{n + 1}$. Так как $n$ принимает 100 различных значений, подкоренное выражение $n + 1$ также принимает 100 различных значений, а именно все целые числа от $0 + 1 = 1$ до $99 + 1 = 100$. Функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей для $x \ge 0$. Это означает, что разным значениям аргумента $n+1$ соответствуют разные значения функции $\sqrt{n+1}$. Следовательно, данное выражение может принять столько же различных значений, сколько существует возможных значений для $n$, то есть 100.
Ответ: 100.

б) Сколько среди них целых чисел?
Значение выражения $\sqrt{n + 1}$ будет целым числом, если подкоренное выражение $n + 1$ является полным квадратом. Мы знаем, что $n + 1$ принимает целые значения от 1 до 100 включительно. Нам нужно найти количество полных квадратов в этом диапазоне. Выпишем полные квадраты, не превышающие 100: $1^2 = 1$ (при $n=0$)
$2^2 = 4$ (при $n=3$)
$3^2 = 9$ (при $n=8$)
$4^2 = 16$ (при $n=15$)
$5^2 = 25$ (при $n=24$)
$6^2 = 36$ (при $n=35$)
$7^2 = 49$ (при $n=48$)
$8^2 = 64$ (при $n=63$)
$9^2 = 81$ (при $n=80$)
$10^2 = 100$ (при $n=99$) Всего таких чисел 10.
Ответ: 10.

в) Сколько среди них иррациональных чисел?
Корень из натурального числа является либо целым числом, либо иррациональным. Из пункта (а) мы знаем, что всего выражение может принять 100 различных значений. Из пункта (б) мы определили, что 10 из этих значений являются целыми числами. Все остальные значения будут иррациональными. Их количество можно найти, вычтя количество целых значений из общего количества значений: $100 - 10 = 90$.
Ответ: 90.

г) Сколько среди них чисел больше семи?
Нам нужно найти количество значений $n$ (где $n$ — целое число от 0 до 99), для которых выполняется неравенство: $\sqrt{n + 1} > 7$ Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{n + 1})^2 > 7^2$ $n + 1 > 49$ $n > 48$ Так как $n$ — это целое число из диапазона от 0 до 99, нам подходят все целые числа от 49 до 99 включительно. Чтобы найти их количество, вычтем из последнего числа первое и прибавим единицу: $99 - 49 + 1 = 50 + 1 = 51$. Таким образом, существует 51 значение $n$, при котором значение выражения больше семи.
Ответ: 51.

18.5 Рассматриваются отличные от нуля целые числа, модуль которых меньше $11$.

а) Сколько всего существует таких чисел?

б) Сколько среди них отрицательных чисел?

в) Сколько среди них чисел, модуль которых больше $7$?

г) Сколько среди них чисел из промежутка $(-10; -1)$?

По условию задачи, мы рассматриваем множество целых чисел $x$, которые удовлетворяют двум условиям:
1. $x \neq 0$ (числа отличны от нуля)
2. $|x| < 11$ (модуль чисел меньше 11)

Неравенство $|x| < 11$ эквивалентно двойному неравенству $-11 < x < 11$. Поскольку $x$ — целое число, то $x$ может принимать значения из множества: $\{-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Учитывая условие $x \neq 0$, мы исключаем 0 из этого множества. Таким образом, искомое множество чисел, которые мы будем рассматривать, это:
$S = \{-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

а) Сколько всего существует таких чисел?

Чтобы найти общее количество чисел в множестве $S$, посчитаем количество положительных и отрицательных чисел.
Положительные числа: $1, 2, \dots, 10$. Их 10.
Отрицательные числа: $-1, -2, \dots, -10$. Их тоже 10.
Общее количество чисел равно сумме количества положительных и отрицательных чисел: $10 + 10 = 20$.
Ответ: 20.

б) Сколько среди них отрицательных чисел?

Отрицательные числа в множестве $S$ — это целые числа от -10 до -1 включительно.
Перечислим их: $\{-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1\}$.
Подсчитав количество элементов в этом списке, получаем 10.
Ответ: 10.

в) Сколько среди них чисел, модуль которых больше 7?

Нам нужно найти количество чисел $x$ из множества $S$, для которых выполняется условие $|x| > 7$.
Так как для всех чисел из $S$ уже выполняется $|x| < 11$, мы ищем целые числа, удовлетворяющие двойному неравенству $7 < |x| < 11$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x > 0$, то неравенство принимает вид $7 < x < 11$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: 8, 9, 10. Всего 3 числа.
2. Если $x < 0$, то неравенство принимает вид $7 < -x < 11$. Умножив все части на -1 и изменив знаки неравенства на противоположные, получаем $-11 < x < -7$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: -10, -9, -8. Всего 3 числа.
Суммарное количество таких чисел: $3 + 3 = 6$.
Ответ: 6.

г) Сколько среди них чисел из промежутка (–10; –1)?

Нам нужно найти количество чисел из множества $S$, которые принадлежат интервалу $(-10; -1)$.
Это означает, что мы ищем целые числа $x$, для которых выполняется строгое неравенство $-10 < x < -1$.
Из множества всех рассматриваемых чисел $S$ выберем те, что удовлетворяют этому условию. Это будут отрицательные числа, строго большие -10 и строго меньшие -1.
Эти числа: $\{-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2\}$.
Подсчитав их, получаем 8 чисел.
Ответ: 8.

18.6 В прямоугольнике с вершинами A(0; 0), B(0; 3), C(9; 3), D(9; 0) от-метили все точки с целочисленными координатами.

а) Сколько всего отметили точек (включая точки, лежащие на сторонах)?

б) Сколько таких точек лежит внутри (не на сторонах) прямо-угольника?

в) Сколько таких точек лежит на графике функции $y = \sqrt{x}$?

г) Сколько таких точек лежит выше графика функции $y = \sqrt{x}$?

а) Сколько всего отметили точек (включая точки, лежащие на сторонах)?
Прямоугольник с вершинами в точках A(0; 0), B(0; 3), C(9; 3) и D(9; 0) задается на координатной плоскости системой неравенств $0 \le x \le 9$ и $0 \le y \le 3$. Нас интересуют точки с целочисленными координатами, удовлетворяющие этим неравенствам. Целочисленные значения, которые может принимать координата $x$, принадлежат множеству $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Количество таких значений: $9 - 0 + 1 = 10$. Целочисленные значения, которые может принимать координата $y$, принадлежат множеству $\{0, 1, 2, 3\}$. Количество таких значений: $3 - 0 + 1 = 4$. Общее число точек с целочисленными координатами в данном прямоугольнике (включая его стороны) равно произведению количества возможных значений для каждой координаты: $10 \times 4 = 40$.
Ответ: 40.

б) Сколько таких точек лежит внутри (не на сторонах) прямоугольника?
Точки, лежащие внутри прямоугольника, должны удовлетворять строгим неравенствам: $0 < x < 9$ и $0 < y < 3$. Целочисленные значения для координаты $x$ в этом случае: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Количество таких значений: $8 - 1 + 1 = 8$. Целочисленные значения для координаты $y$: $\{1, 2\}$. Количество таких значений: $2 - 1 + 1 = 2$. Общее число точек с целочисленными координатами строго внутри прямоугольника равно: $8 \times 2 = 16$.
Ответ: 16.

в) Сколько таких точек лежит на графике функции $y = \sqrt{x}$?
Мы ищем точки с целочисленными координатами $(x, y)$, которые находятся в заданном прямоугольнике ($0 \le x \le 9$, $0 \le y \le 3$) и удовлетворяют уравнению $y = \sqrt{x}$. Из уравнения следует, что $x = y^2$. Так как $x$ и $y$ должны быть целыми, то $x$ должен быть полным квадратом. Переберем все возможные целые значения $y$ из диапазона $[0, 3]$:
При $y = 0$, $x = 0^2 = 0$. Точка (0; 0) удовлетворяет условиям ($0 \le 0 \le 9$, $0 \le 0 \le 3$).
При $y = 1$, $x = 1^2 = 1$. Точка (1; 1) удовлетворяет условиям ($0 \le 1 \le 9$, $0 \le 1 \le 3$).
При $y = 2$, $x = 2^2 = 4$. Точка (4; 2) удовлетворяет условиям ($0 \le 4 \le 9$, $0 \le 2 \le 3$).
При $y = 3$, $x = 3^2 = 9$. Точка (9; 3) удовлетворяет условиям ($0 \le 9 \le 9$, $0 \le 3 \le 3$).
Следующее целое значение $y=4$ дает $x=16$, что находится вне прямоугольника. Таким образом, на графике функции лежат 4 точки с целочисленными координатами.
Ответ: 4.

г) Сколько таких точек лежит выше графика функции $y = \sqrt{x}$?
Нам нужно найти количество целочисленных точек $(x, y)$ в прямоугольнике, для которых выполняется неравенство $y > \sqrt{x}$. Переберем все возможные целые значения $x$ от 0 до 9 и для каждого из них посчитаем количество целых $y$ из диапазона $[0, 3]$, удовлетворяющих этому неравенству.
При $x = 0$: $y > \sqrt{0} \implies y > 0$. Подходят $y \in \{1, 2, 3\}$ — 3 точки.
При $x = 1$: $y > \sqrt{1} \implies y > 1$. Подходят $y \in \{2, 3\}$ — 2 точки.
При $x = 2$: $y > \sqrt{2} \approx 1.41$. Подходят $y \in \{2, 3\}$ — 2 точки.
При $x = 3$: $y > \sqrt{3} \approx 1.73$. Подходят $y \in \{2, 3\}$ — 2 точки.
При $x = 4$: $y > \sqrt{4} \implies y > 2$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 5$: $y > \sqrt{5} \approx 2.24$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 6$: $y > \sqrt{6} \approx 2.45$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 7$: $y > \sqrt{7} \approx 2.65$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 8$: $y > \sqrt{8} \approx 2.83$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 9$: $y > \sqrt{9} \implies y > 3$. В диапазоне $[0, 3]$ таких $y$ нет — 0 точек.
Сложим количество найденных точек: $3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 14$.
Ответ: 14.

18.7 В квадрате ACEG надо пройти по отмеченным линиям (рис. 8) из вершины A в вершину E, двигаясь только вверх или вправо.

а) Выпишите все пути, проходящие через вершину G.

б) Сколько путей проходит через точку H?

в) Сколько путей проходит через точку B?

г) Сколько всего имеется таких путей?

Рис. 8

а) Чтобы найти все пути из вершины A в вершину E, проходящие через вершину G, необходимо рассмотреть маршрут как состоящий из двух частей: от A до G и от G до E.
1. Путь из A в G: Чтобы попасть из A в G, двигаясь только вправо и вверх, нужно сделать 2 шага вправо и 0 шагов вверх. Существует только один такой способ: A → H → G.
2. Путь из G в E: Чтобы попасть из G в E, нужно сделать 0 шагов вправо и 2 шага вверх. Существует только один такой способ: G → F → E.
Таким образом, существует только один путь из A в E, проходящий через G. Этот путь является последовательным соединением двух вышеуказанных участков.
Ответ: A → H → G → F → E.

б) Любой путь из A в E, проходящий через точку H, состоит из двух частей: пути из A в H и пути из H в E. Чтобы найти общее количество таких путей, нужно перемножить количество способов пройти каждую часть.
1. Путь из A в H: Существует только один способ добраться из A в H — сделать один шаг вправо.
2. Путь из H в E: Чтобы добраться из H в E, необходимо сделать 1 шаг вправо и 2 шага вверх. Общее количество шагов равно 3. Количество различных маршрутов — это число перестановок с повторениями, которое можно найти по формуле числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае нужно выбрать 2 позиции для шагов вверх из 3 возможных (или 1 позицию для шага вправо).
Количество путей из H в E: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3$.
Следовательно, общее количество путей из A в E через H равно произведению количеств путей на каждом отрезке: $1 \times 3 = 3$.
Ответ: 3.

в) Аналогично пункту б), найдем количество путей, проходящих через точку B. Путь состоит из двух частей: из A в B и из B в E.
1. Путь из A в B: Существует только один способ добраться из A в B — сделать один шаг вверх.
2. Путь из B в E: Чтобы добраться из B в E, необходимо сделать 2 шага вправо и 1 шаг вверх. Общее количество шагов равно 3. Количество различных маршрутов равно числу способов выбрать 1 позицию для шага вверх из 3 возможных.
Количество путей из B в E: $C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3$.
Следовательно, общее количество путей из A в E через B равно: $1 \times 3 = 3$.
Ответ: 3.

г) Чтобы найти общее количество путей из A в E, нужно определить, сколькими способами можно совершить 2 шага вправо и 2 шага вверх. Общее количество шагов на любом пути равно $2 + 2 = 4$.
Задача сводится к нахождению числа способов расположить 2 шага вправо (или 2 шага вверх) в последовательности из 4 шагов. Это классическая задача на сочетания.
Общее количество путей равно числу сочетаний из 4 по 2:
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6$.
Ответ: 6.