Номер 18.3, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 18. Комбинаторные и вероятностные задачи. Правило умножения. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 18.3, страница 98.

Условие.

18.3 a) Между любыми цифрами числа 123456789 можно поставить запятую. Сколько при этом получится десятичных дробей?

Какова вероятность того, что после вставки запятой получится число:

б) больше миллиона;

в) меньше ста;

г) дробная часть которого больше $0,3$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) В исходном числе 123456789 содержится 9 цифр. Запятую можно поставить между любыми двумя соседними цифрами. Количество таких позиций (промежутков между цифрами) равно количеству цифр минус один. Таким образом, существует $9 - 1 = 8$ возможных мест для постановки запятой. Каждое такое место создает уникальную десятичную дробь. Следовательно, всего можно получить 8 различных десятичных дробей.
Ответ: 8.

б) Вероятность события вычисляется по формуле классической вероятности $P = M/N$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию. В нашем случае общее число исходов $N=8$.
Нам нужно найти вероятность того, что полученное число будет больше миллиона ($1\,000\,000$). Число будет больше миллиона, если его целая часть будет содержать 7 или более цифр.
Рассмотрим все возможные варианты:

• 1,23456789
• 12,3456789
• 123,456789
• 1234,56789
• 12345,6789
• 123456,789
• 1234567,89 (больше $1\,000\,000$)
• 12345678,9 (больше $1\,000\,000$)

Два исхода являются благоприятными. Таким образом, $M=2$.
Вероятность равна $P = 2/8 = 1/4$.
Ответ: $1/4$.

в) Общее число исходов по-прежнему $N=8$. Нам нужно найти вероятность того, что полученное число будет меньше ста (100). Число будет меньше 100, если его целая часть будет содержать одну или две цифры.
Рассмотрим варианты:

• 1,23456789 (меньше 100)
• 12,3456789 (меньше 100)
• 123,456789 (больше 100)

Только первые два случая удовлетворяют условию. Таким образом, число благоприятных исходов $M=2$.
Вероятность равна $P = 2/8 = 1/4$.
Ответ: $1/4$.

г) Общее число исходов $N=8$. Нам нужно найти вероятность того, что дробная часть полученного числа будет больше 0,3. Дробная часть числа определяется цифрами, стоящими после запятой. Чтобы дробная часть была больше 0,3, первая цифра после запятой должна быть 3 или больше.
Рассмотрим, какая цифра оказывается первой после запятой в каждом из 8 случаев:

• 1,23456789 (дробная часть 0,23... < 0,3)
• 12,3456789 (дробная часть 0,34... > 0,3)
• 123,456789 (дробная часть 0,45... > 0,3)
• 1234,56789 (дробная часть 0,56... > 0,3)
• 12345,6789 (дробная часть 0,67... > 0,3)
• 123456,789 (дробная часть 0,789 > 0,3)
• 1234567,89 (дробная часть 0,89 > 0,3)
• 12345678,9 (дробная часть 0,9 > 0,3)

Условию удовлетворяют 7 из 8 случаев. Таким образом, число благоприятных исходов $M=7$.
Вероятность равна $P = 7/8$.
Ответ: $7/8$.