Номер 17.43, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.43, страница 97.

Условие.

17.43 a) $y = \sqrt{x^2 + x}$;

б) $y = 3x - |2x - 4|$;

в) $y = \sqrt{x^2 - x}$;

г) $y = |x - 3| + 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \sqrt{x^2} + x$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$y = |x| + x$

Далее раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = x + x = 2x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -x + x = 0$

Таким образом, функция является кусочно-заданной. График состоит из двух лучей: луча $y = 0$ при $x < 0$ и луча $y = 2x$ при $x \ge 0$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

б) $y = 3x - |2x - 4|$

Для того чтобы раскрыть модуль, нужно рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения под модулем. Найдем точку, в которой подмодульное выражение меняет знак:

$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$

Рассмотрим два интервала:

1. Если $2x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|2x - 4| = 2x - 4$. Функция принимает вид:

$y = 3x - (2x - 4) = 3x - 2x + 4 = x + 4$

2. Если $2x - 4 < 0$, то есть $x < 2$, то $|2x - 4| = -(2x - 4) = 4 - 2x$. Функция принимает вид:

$y = 3x - (4 - 2x) = 3x - 4 + 2x = 5x - 4$

Таким образом, функция является кусочно-линейной.

Ответ: $y = \begin{cases} x + 4, & \text{если } x \ge 2 \\ 5x - 4, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

в) $y = \sqrt{x^2} - x$

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, перепишем уравнение в виде:

$y = |x| - x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = x - x = 0$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -x - x = -2x$

Таким образом, функция является кусочно-заданной. График состоит из двух лучей: луча $y = -2x$ при $x < 0$ и луча $y = 0$ при $x \ge 0$.

Ответ: $y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

г) $y = |x - 3| + 2x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения. Найдем точку, в которой подмодульное выражение меняет знак:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Рассмотрим два интервала:

1. Если $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$, то $|x - 3| = x - 3$. Функция принимает вид:

$y = (x - 3) + 2x = 3x - 3$

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$, то $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Функция принимает вид:

$y = (3 - x) + 2x = x + 3$

Таким образом, функция является кусочно-линейной.

Ответ: $y = \begin{cases} 3x - 3, & \text{если } x \ge 3 \\ x + 3, & \text{если } x < 3 \end{cases}$