Номер 17.44, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.44, страница 97.

Условие.

17.44 а) $y = 2 |x|;$

б) $y = -\frac{1}{3} |x|;$

в) $y = 0.5 |x|;$

г) $y = -3 |x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = 2|x|$

Это функция вида $y = k|x|$ с коэффициентом $k=2$. График этой функции получается из графика базовой функции $y = |x|$ путем растяжения от оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви графика направлены вверх.

Раскроем модуль, чтобы представить функцию в виде системы:

$y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График представляет собой два луча, выходящих из начала координат (0, 0), которое является вершиной. Для построения графика найдем несколько контрольных точек:

• При $x = 0$, $y = 2|0| = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 1$, $y = 2|1| = 2$. Точка (1, 2).
• При $x = -1$, $y = 2|-1| = 2$. Точка (-1, 2).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = 2|-x| = 2|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: График функции $y = 2|x|$ — это график функции $y = |x|$, растянутый в 2 раза от оси Ox. Ветви направлены вверх, вершина находится в точке (0, 0). График состоит из двух лучей: $y = 2x$ для $x \ge 0$ и $y = -2x$ для $x < 0$.

б) $y = -\frac{1}{3}|x|$

Это функция вида $y = k|x|$ с коэффициентом $k=-\frac{1}{3}$. График этой функции получается из графика $y = |x|$ путем сжатия к оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза и последующего зеркального отражения относительно оси Ox. Поскольку коэффициент $k=-\frac{1}{3}$ отрицателен, ветви графика направлены вниз.

Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} -\frac{1}{3}x, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{3}x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График представляет собой два луча, выходящих из вершины в точке (0, 0). Для построения графика найдем несколько контрольных точек:

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{3}|0| = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 3$, $y = -\frac{1}{3}|3| = -1$. Точка (3, -1).
• При $x = -3$, $y = -\frac{1}{3}|-3| = -1$. Точка (-3, -1).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}|x|$ — это график функции $y = |x|$, сжатый в 3 раза к оси Ox и отраженный относительно этой же оси. Ветви направлены вниз, вершина в точке (0, 0). График состоит из двух лучей: $y = -\frac{1}{3}x$ для $x \ge 0$ и $y = \frac{1}{3}x$ для $x < 0$.

в) $y = 0,5|x|$

Это функция вида $y = k|x|$ с коэффициентом $k=0,5$. График этой функции получается из графика $y = |x|$ путем сжатия к оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза (или с коэффициентом 0,5). Поскольку коэффициент $k=0,5$ положителен, ветви графика направлены вверх.

Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} 0,5x, & \text{если } x \ge 0 \\ -0,5x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График представляет собой два луча с вершиной в точке (0, 0). Для построения найдем контрольные точки:

• При $x = 0$, $y = 0,5|0| = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 2$, $y = 0,5|2| = 1$. Точка (2, 1).
• При $x = -2$, $y = 0,5|-2| = 1$. Точка (-2, 1).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = 0,5|x|$ — это график функции $y = |x|$, сжатый в 2 раза к оси Ox. Ветви направлены вверх, вершина в точке (0, 0). График состоит из двух лучей: $y = 0,5x$ для $x \ge 0$ и $y = -0,5x$ для $x < 0$.

г) $y = -3|x|$

Это функция вида $y = k|x|$ с коэффициентом $k=-3$. График этой функции получается из графика $y = |x|$ путем растяжения от оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза и последующего зеркального отражения относительно оси Ox. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен, ветви графика направлены вниз.

Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \ge 0 \\ 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График представляет собой два луча с вершиной в точке (0, 0). Для построения найдем контрольные точки:

• При $x = 0$, $y = -3|0| = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 1$, $y = -3|1| = -3$. Точка (1, -3).
• При $x = -1$, $y = -3|-1| = -3$. Точка (-1, -3).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = -3|x|$ — это график функции $y = |x|$, растянутый в 3 раза от оси Ox и отраженный относительно этой же оси. Ветви направлены вниз, вершина в точке (0, 0). График состоит из двух лучей: $y = -3x$ для $x \ge 0$ и $y = 3x$ для $x < 0$.