Страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите графически неравенство:

17.40

a) $|x| \geq 3$;

б) $x^2 > |x|$;

в) $-|x| < 4$;

г) $\sqrt{x} \geq |x|$.

Для графического решения неравенств необходимо построить графики функций, стоящих в левой и правой частях неравенства, а затем определить, на каких промежутках график одной функции расположен выше (или ниже) графика другой функции в соответствии со знаком неравенства.

а) $|x| \ge 3$

Рассмотрим две функции: $y_1 = |x|$ и $y_2 = 3$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = |x|$ находится не ниже (то есть на или выше) графика функции $y_2 = 3$.
График функции $y_1 = |x|$ представляет собой две прямые, выходящие из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Это "галочка" с вершиной в точке $(0,0)$.
График функции $y_2 = 3$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0,3)$.
Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $|x| = 3$. Это уравнение имеет два корня: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения — $(-3, 3)$ и $(3, 3)$.
Из графика видно, что график функции $y_1 = |x|$ расположен на или выше прямой $y_2 = 3$ при $x \le -3$ и при $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

б) $x^2 > |x|$

Рассмотрим две функции: $y_1 = x^2$ и $y_2 = |x|$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = x^2$ находится строго выше графика функции $y_2 = |x|$.
График функции $y_1 = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх.
График функции $y_2 = |x|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(0,0)$.
Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 = |x|$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать как $|x|^2 - |x| = 0$, или $|x|(|x|-1) = 0$. Отсюда получаем $|x|=0$ или $|x|=1$.
Из $|x|=0$ следует $x=0$.
Из $|x|=1$ следует $x=1$ и $x=-1$.
Точки пересечения: $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Из графика видно, что парабола $y_1 = x^2$ расположена строго выше графика $y_2 = |x|$ на интервалах $x < -1$ и $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

в) $-|x| < 4$

Рассмотрим две функции: $y_1 = -|x|$ и $y_2 = 4$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = -|x|$ находится строго ниже графика функции $y_2 = 4$.
График функции $y_1 = -|x|$ представляет собой "перевернутую галочку" с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз.
График функции $y_2 = 4$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку $(0,4)$.
Найдем точки пересечения, решив уравнение $-|x|=4$, или $|x|=-4$. Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным. Следовательно, графики не пересекаются.
Максимальное значение функции $y_1 = -|x|$ равно 0 (при $x=0$). Все остальные значения этой функции отрицательны. Прямая $y_2=4$ всегда находится выше графика $y_1 = -|x|$. Таким образом, неравенство $-|x| < 4$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, \infty)$.

г) $\sqrt{x} \ge |x|$

Рассмотрим две функции: $y_1 = \sqrt{x}$ и $y_2 = |x|$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = \sqrt{x}$ находится не ниже (то есть на или выше) графика функции $y_2 = |x|$.
Область определения функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Поэтому мы будем рассматривать неравенство только для неотрицательных $x$.
При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Таким образом, неравенство принимает вид $\sqrt{x} \ge x$.
График функции $y_1 = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$.
График функции $y_2 = x$ (для $x \ge 0$) — это луч, выходящий из начала координат под углом 45 градусов к оси $Ox$.
Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $\sqrt{x} = x$. Возведем обе части в квадрат: $x = x^2$. Перенесем все в одну сторону: $x^2 - x = 0$, или $x(x-1)=0$. Корни уравнения: $x_1=0$ и $x_2=1$. Оба корня принадлежат области определения $x \ge 0$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(1, 1)$.
Из графика видно, что на отрезке $[0, 1]$ график функции $y_1 = \sqrt{x}$ расположен на или выше графика $y_2 = x$. При $x>1$ график корня находится ниже прямой.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

17.41 a) $|x| \le -x+4;$

б) $|x| > x-2;$

в) $|x| > -x+4;$

г) $-|x| > 3-x.$

а) Решим неравенство $|x| \le -x + 4$.

Для решения неравенства с модулем рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$x \le -x + 4$

$2x \le 4$

$x \le 2$

Совмещая с условием $x \ge 0$, получаем решение для этого случая: $0 \le x \le 2$ или $x \in [0; 2]$.

2. Пусть $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$-x \le -x + 4$

$0 \le 4$

Это неравенство является верным для всех значений $x$. Совмещая с условием $x < 0$, получаем решение для этого случая: $x < 0$ или $x \in (-\infty; 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое множество решений: $(-\infty; 0) \cup [0; 2] = (-\infty; 2]$.

Ответ: $(-\infty; 2]$.

б) Решим неравенство $|x| > x - 2$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Неравенство становится:

$x > x - 2$

$0 > -2$

Это неравенство верно для любых $x$. С учетом условия $x \ge 0$, решением в этом случае является промежуток $[0; +\infty)$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Неравенство становится:

$-x > x - 2$

$2 > 2x$

$1 > x$, или $x < 1$.

С учетом условия $x < 0$, решением в этом случае является промежуток $(-\infty; 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, $(-\infty; 0) \cup [0; +\infty)$, получаем, что неравенство верно для всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $|x| > -x + 4$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$x > -x + 4$

$2x > 4$

$x > 2$

С учетом условия $x \ge 0$, решение в этом случае: $x > 2$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$-x > -x + 4$

$0 > 4$

Это неравенство неверно. В этом случае решений нет.

Итоговое решение является решением из первого случая.

Ответ: $(2; +\infty)$.

г) Решим неравенство $-|x| > 3 - x$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$|x| < x - 3$

Левая часть неравенства, $|x|$, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$). Для того чтобы неравенство имело решение, правая часть, $x - 3$, должна быть строго больше левой, а значит, как минимум, положительной:

$x - 3 > 0 \implies x > 3$.

Таким образом, будем искать решения при условии $x > 3$. Если $x > 3$, то $x$ — положительное число, и $|x| = x$. Подставим это в неравенство $|x| < x - 3$:

$x < x - 3$

$0 < -3$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что даже при выполнении условия $x > 3$ решений нет. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

Постройте график функции:

17.42 a) $y = x|x|;$

б) $y = \frac{|x|}{x} + 1;$

в) $y = \frac{x}{|x|};$

г) $y = \frac{x^2}{|x|}.$

а) Для построения графика функции $y = x|x|$ необходимо раскрыть модуль. Модуль числа $|x|$ равен $x$, если $x \ge 0$, и равен $-x$, если $x < 0$. Рассмотрим два случая:

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$. Для неотрицательных значений $x$ графиком является часть параболы $y = x^2$, расположенная в первой координатной четверти.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$. Для отрицательных значений $x$ графиком является часть параболы $y = -x^2$, расположенная в третьей координатной четверти.

Таким образом, график функции $y = x|x|$ состоит из двух ветвей парабол, соединенных в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции состоит из ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x < 0$.

б) Для построения графика функции $y = \frac{|x|}{x} + 1$ сначала определим область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{x}{x} + 1 = 1 + 1 = 2$. Графиком является горизонтальный луч $y=2$, расположенный в первой координатной четверти. Точка с абсциссой $x=0$ не входит в этот луч, поэтому на графике в точке $(0, 2)$ будет "выколотая" точка.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{-x}{x} + 1 = -1 + 1 = 0$. Графиком является горизонтальный луч $y=0$, который совпадает с отрицательной частью оси Ox. Точка с абсциссой $x=0$ не входит в этот луч, поэтому на графике в точке $(0, 0)$ будет "выколотая" точка.

Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей: $y=2$ при $x > 0$ и $y=0$ при $x < 0$. Точки $(0, 2)$ и $(0, 0)$ на оси Oy не принадлежат графику (являются выколотыми).

в) Для построения графика функции $y = \frac{x}{|x|}$ определим область определения: $x \neq 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{x}{x} = 1$. Графиком является горизонтальный луч $y=1$ при $x>0$. Точка $(0, 1)$ выколота.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{x}{-x} = -1$. Графиком является горизонтальный луч $y=-1$ при $x<0$. Точка $(0, -1)$ выколота.

Эта функция также известна как функция знака, $y = \text{sgn}(x)$.

Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей: $y=1$ при $x>0$ и $y=-1$ при $x<0$. Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ выколоты.

г) Для построения графика функции $y = \frac{x^2}{|x|}$ определим область определения: $x \neq 0$. Упростим выражение, учитывая, что $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$.

$y = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$, при условии, что $x \neq 0$.

Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = |x|$, за исключением точки, где $x=0$.

График функции $y=|x|$ состоит из двух лучей:
- $y = x$ при $x \ge 0$
- $y = -x$ при $x < 0$
Эти два луча образуют "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.
Поскольку для нашей исходной функции $x \neq 0$, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику, то есть является выколотой.

Ответ: График функции является объединением двух лучей: $y=x$ для $x>0$ и $y=-x$ для $x<0$. График выглядит как "галочка" ($y=|x|$) с выколотой вершиной в точке $(0,0)$.

17.43 a) $y = \sqrt{x^2 + x}$;

б) $y = 3x - |2x - 4|$;

в) $y = \sqrt{x^2 - x}$;

г) $y = |x - 3| + 2x$.

а) $y = \sqrt{x^2} + x$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Следовательно, $\sqrt{x^2} = |x|$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$y = |x| + x$

Далее раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = x + x = 2x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -x + x = 0$

Таким образом, функция является кусочно-заданной. График состоит из двух лучей: луча $y = 0$ при $x < 0$ и луча $y = 2x$ при $x \ge 0$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 0, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

б) $y = 3x - |2x - 4|$

Для того чтобы раскрыть модуль, нужно рассмотреть два случая в зависимости от знака выражения под модулем. Найдем точку, в которой подмодульное выражение меняет знак:

$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$

Рассмотрим два интервала:

1. Если $2x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $|2x - 4| = 2x - 4$. Функция принимает вид:

$y = 3x - (2x - 4) = 3x - 2x + 4 = x + 4$

2. Если $2x - 4 < 0$, то есть $x < 2$, то $|2x - 4| = -(2x - 4) = 4 - 2x$. Функция принимает вид:

$y = 3x - (4 - 2x) = 3x - 4 + 2x = 5x - 4$

Таким образом, функция является кусочно-линейной.

Ответ: $y = \begin{cases} x + 4, & \text{если } x \ge 2 \\ 5x - 4, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

в) $y = \sqrt{x^2} - x$

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, перепишем уравнение в виде:

$y = |x| - x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = x - x = 0$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -x - x = -2x$

Таким образом, функция является кусочно-заданной. График состоит из двух лучей: луча $y = -2x$ при $x < 0$ и луча $y = 0$ при $x \ge 0$.

Ответ: $y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

г) $y = |x - 3| + 2x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения. Найдем точку, в которой подмодульное выражение меняет знак:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Рассмотрим два интервала:

1. Если $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$, то $|x - 3| = x - 3$. Функция принимает вид:

$y = (x - 3) + 2x = 3x - 3$

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$, то $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Функция принимает вид:

$y = (3 - x) + 2x = x + 3$

Таким образом, функция является кусочно-линейной.

Ответ: $y = \begin{cases} 3x - 3, & \text{если } x \ge 3 \\ x + 3, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

17.44 а) $y = 2 |x|;$

б) $y = -\frac{1}{3} |x|;$

в) $y = 0.5 |x|;$

г) $y = -3 |x|.$

а) $y = 2|x|$

Это функция вида $y = k|x|$ с коэффициентом $k=2$. График этой функции получается из графика базовой функции $y = |x|$ путем растяжения от оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви графика направлены вверх.

Раскроем модуль, чтобы представить функцию в виде системы:

$y = \begin{cases} 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График представляет собой два луча, выходящих из начала координат (0, 0), которое является вершиной. Для построения графика найдем несколько контрольных точек:

• При $x = 0$, $y = 2|0| = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 1$, $y = 2|1| = 2$. Точка (1, 2).
• При $x = -1$, $y = 2|-1| = 2$. Точка (-1, 2).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция является четной, так как $y(-x) = 2|-x| = 2|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: График функции $y = 2|x|$ — это график функции $y = |x|$, растянутый в 2 раза от оси Ox. Ветви направлены вверх, вершина находится в точке (0, 0). График состоит из двух лучей: $y = 2x$ для $x \ge 0$ и $y = -2x$ для $x < 0$.

б) $y = -\frac{1}{3}|x|$

Это функция вида $y = k|x|$ с коэффициентом $k=-\frac{1}{3}$. График этой функции получается из графика $y = |x|$ путем сжатия к оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза и последующего зеркального отражения относительно оси Ox. Поскольку коэффициент $k=-\frac{1}{3}$ отрицателен, ветви графика направлены вниз.

Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} -\frac{1}{3}x, & \text{если } x \ge 0 \\ \frac{1}{3}x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График представляет собой два луча, выходящих из вершины в точке (0, 0). Для построения графика найдем несколько контрольных точек:

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{3}|0| = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 3$, $y = -\frac{1}{3}|3| = -1$. Точка (3, -1).
• При $x = -3$, $y = -\frac{1}{3}|-3| = -1$. Точка (-3, -1).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{3}|x|$ — это график функции $y = |x|$, сжатый в 3 раза к оси Ox и отраженный относительно этой же оси. Ветви направлены вниз, вершина в точке (0, 0). График состоит из двух лучей: $y = -\frac{1}{3}x$ для $x \ge 0$ и $y = \frac{1}{3}x$ для $x < 0$.

в) $y = 0,5|x|$

Это функция вида $y = k|x|$ с коэффициентом $k=0,5$. График этой функции получается из графика $y = |x|$ путем сжатия к оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза (или с коэффициентом 0,5). Поскольку коэффициент $k=0,5$ положителен, ветви графика направлены вверх.

Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} 0,5x, & \text{если } x \ge 0 \\ -0,5x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График представляет собой два луча с вершиной в точке (0, 0). Для построения найдем контрольные точки:

• При $x = 0$, $y = 0,5|0| = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 2$, $y = 0,5|2| = 1$. Точка (2, 1).
• При $x = -2$, $y = 0,5|-2| = 1$. Точка (-2, 1).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = 0,5|x|$ — это график функции $y = |x|$, сжатый в 2 раза к оси Ox. Ветви направлены вверх, вершина в точке (0, 0). График состоит из двух лучей: $y = 0,5x$ для $x \ge 0$ и $y = -0,5x$ для $x < 0$.

г) $y = -3|x|$

Это функция вида $y = k|x|$ с коэффициентом $k=-3$. График этой функции получается из графика $y = |x|$ путем растяжения от оси абсцисс (оси Ox) в 3 раза и последующего зеркального отражения относительно оси Ox. Поскольку коэффициент $k=-3$ отрицателен, ветви графика направлены вниз.

Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \ge 0 \\ 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График представляет собой два луча с вершиной в точке (0, 0). Для построения найдем контрольные точки:

• При $x = 0$, $y = -3|0| = 0$. Точка (0, 0).
• При $x = 1$, $y = -3|1| = -3$. Точка (1, -3).
• При $x = -1$, $y = -3|-1| = -3$. Точка (-1, -3).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Функция является четной, ее график симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции $y = -3|x|$ — это график функции $y = |x|$, растянутый в 3 раза от оси Ox и отраженный относительно этой же оси. Ветви направлены вниз, вершина в точке (0, 0). График состоит из двух лучей: $y = -3x$ для $x \ge 0$ и $y = 3x$ для $x < 0$.

18.1 В записи * $\notin$ $\blacksquare$ вместо * можно поставить одно из чисел: $-3$, $0,(317)$, $\frac{17}{3}$, $\sqrt{3}$, а вместо $\blacksquare$ — один из символов числовых множеств: $N$, $Z$,

Q. Будут получаться различные утверждения (верные или неверные), например: $-3 \in N$, $\sqrt{3} \notin Q$ и т. п.

а) Сколько получится утверждений, у которых на последнем месте стоит $Z$?

б) Изобразите дерево вариантов составления всевозможных утверждений.

в) Сколько всего утверждений получится?

г) Сколько среди них верных утверждений?

В данной задаче мы составляем утверждения вида «число $\in$ множество» или «число $\notin$ множество».

На место числа (*) можно поставить одно из 5 чисел: $-3, 0, 0.(317), \frac{17}{3}, \sqrt{3}$.

На место знака отношения можно поставить один из 2 символов: $\in$ (принадлежит) или $\notin$ (не принадлежит).

На место множества (■) можно поставить один из 3 символов: $N$ (натуральные числа), $Z$ (целые числа), $Q$ (рациональные числа).

а) Сколько получится утверждений, у которых на последнем месте стоит Z?

Чтобы составить утверждение, в котором на последнем месте стоит множество целых чисел $Z$, нам нужно выбрать:

• Одно из 5 данных чисел.
• Один из 2 символов отношения ($\in$ или $\notin$).
• Множество уже выбрано — это $Z$ (1 вариант).

Таким образом, по правилу произведения в комбинаторике, количество таких утверждений равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $5 \times 2 \times 1 = 10$.

Ответ: 10.

б) Изобразите дерево вариантов составления всевозможных утверждений.

Дерево вариантов будет иметь три уровня ветвления. На первом уровне — выбор числа, на втором — выбор знака отношения, на третьем — выбор множества.

• -3
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
• 0
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
• 0.(317)
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
• $\frac{17}{3}$
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
• $\sqrt{3}$
  • $\in$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$
  • $\notin$
    • $N$
    • $Z$
    • $Q$

Ответ: дерево вариантов представлено выше в виде вложенного списка.

в) Сколько всего утверждений получится?

Для нахождения общего количества утверждений воспользуемся правилом произведения. Нам нужно выбрать:

• Одно из 5 чисел.
• Один из 2 символов отношения.
• Одно из 3 множеств.

Общее количество утверждений равно: $5 \times 2 \times 3 = 30$.

Ответ: 30.

г) Сколько среди них верных утверждений?

Для любого числа $x$ и любого множества $S$ одно и только одно из двух утверждений является верным: либо $x \in S$, либо $x \notin S$.

Мы можем составить пары вида (число, множество). Количество таких пар равно произведению числа вариантов для чисел (5) и числа вариантов для множеств (3): $5 \times 3 = 15$ пар.

Для каждой из этих 15 пар существует ровно одно верное утверждение. Например, для пары $(-3, Z)$ верным является утверждение $-3 \in Z$, а для пары $(\sqrt{3}, Q)$ верным является утверждение $\sqrt{3} \notin Q$.

Следовательно, общее количество верных утверждений равно общему количеству пар (число, множество), то есть 15.

Для детальной проверки проанализируем каждое число:

• -3: является целым и рациональным, но не натуральным. Верные утверждения: $-3 \notin N$, $-3 \in Z$, $-3 \in Q$. (3 верных утверждения).
• 0: является целым и рациональным. В стандартном определении не является натуральным числом ($N = \{1, 2, 3, \dots\}$). Верные утверждения: $0 \notin N$, $0 \in Z$, $0 \in Q$. (3 верных утверждения).
• 0.(317): является рациональным числом ($=\frac{317}{999}$), но не целым и не натуральным. Верные утверждения: $0.(317) \notin N$, $0.(317) \notin Z$, $0.(317) \in Q$. (3 верных утверждения).
• $\frac{17}{3}$: является рациональным числом, но не целым и не натуральным. Верные утверждения: $\frac{17}{3} \notin N$, $\frac{17}{3} \notin Z$, $\frac{17}{3} \in Q$. (3 верных утверждения).
• $\sqrt{3}$: является иррациональным числом, поэтому не принадлежит ни одному из множеств $N, Z, Q$. Верные утверждения: $\sqrt{3} \notin N$, $\sqrt{3} \notin Z$, $\sqrt{3} \notin Q$. (3 верных утверждения).

Суммируя количество верных утверждений для каждого числа, получаем: $3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15$.

Ответ: 15.

18.2 В записи * $\Omega$ ■ вместо * можно произвольно поставить одно из чисел: $-\sqrt{25}$, $\sqrt{2,5}$, $\sqrt{0,25}$, вместо $\Omega$ — поставить $\in$ или $\notin$, а вместо ■ — символ числового множества $\mathbb{Q}$ или $\mathbb{R}$.

а) Изобразите дерево вариантов составления таких утверждений.

б) Сколько получится утверждений, содержащих символ $\notin$?

в) Сколько всего утверждений получится?

г) Сколько среди них верных утверждений?

а) Изобразим дерево вариантов, которое показывает все возможные комбинации для составления утверждений. Дерево имеет три уровня ветвления: первый уровень — выбор числа, второй — выбор символа отношения ($ \in $ или $ \notin $), третий — выбор множества ($ Q $ или $ R $).

• 1. Выбор числа:
  • $-\sqrt{25}$
    • 2. Выбор символа:
      • $\in$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies -\sqrt{25} \in Q$
          • $R \implies -\sqrt{25} \in R$
      • $\notin$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies -\sqrt{25} \notin Q$
          • $R \implies -\sqrt{25} \notin R$
  • $\sqrt{2.5}$
    • 2. Выбор символа:
      • $\in$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies \sqrt{2.5} \in Q$
          • $R \implies \sqrt{2.5} \in R$
      • $\notin$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies \sqrt{2.5} \notin Q$
          • $R \implies \sqrt{2.5} \notin R$
  • $\sqrt{0.25}$
    • 2. Выбор символа:
      • $\in$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies \sqrt{0.25} \in Q$
          • $R \implies \sqrt{0.25} \in R$
      • $\notin$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies \sqrt{0.25} \notin Q$
          • $R \implies \sqrt{0.25} \notin R$

Ответ: Дерево вариантов представлено выше.

б) Чтобы найти количество утверждений, содержащих символ $ \notin $, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции в утверждении, учитывая заданное ограничение.

• Количество вариантов для числа (*): 3 ($-\sqrt{25}$, $\sqrt{2.5}$, $\sqrt{0.25}$).
• Количество вариантов для символа ($ \Omega $): 1 (только $ \notin $).
• Количество вариантов для множества (■): 2 ($ Q $ или $ R $).

Общее количество таких утверждений равно произведению числа вариантов:

$3 \times 1 \times 2 = 6$

Ответ: 6.

в) Чтобы найти общее количество утверждений, нужно перемножить количество вариантов для каждой из трех позиций.

• Количество вариантов для числа (*): 3.
• Количество вариантов для символа ($ \Omega $): 2 ($ \in $ или $ \notin $).
• Количество вариантов для множества (■): 2 ($ Q $ или $ R $).

Общее количество возможных утверждений равно:

$3 \times 2 \times 2 = 12$

Ответ: 12.

г) Для определения количества верных утверждений проанализируем каждое число и его принадлежность к множествам $ Q $ (рациональные числа) и $ R $ (действительные числа).

1. Анализ чисел:

• $-\sqrt{25} = -5$. Это целое число, а значит, оно является рациональным ($ -5 \in Q $) и действительным ($ -5 \in R $).
• $\sqrt{2.5} = \sqrt{5/2}$. Это иррациональное число. Оно не принадлежит множеству рациональных чисел ($ \sqrt{2.5} \notin Q $), но принадлежит множеству действительных чисел ($ \sqrt{2.5} \in R $).
• $\sqrt{0.25} = 0.5$. Это конечная десятичная дробь, которая является рациональным числом ($ 0.5 \in Q $) и, следовательно, действительным числом ($ 0.5 \in R $).

2. Проверка истинности всех 12 утверждений:

1. $-\sqrt{25} \in Q$ — верно.
2. $-\sqrt{25} \in R$ — верно.
3. $-\sqrt{25} \notin Q$ — неверно.
4. $-\sqrt{25} \notin R$ — неверно.
5. $\sqrt{2.5} \in Q$ — неверно.
6. $\sqrt{2.5} \in R$ — верно.
7. $\sqrt{2.5} \notin Q$ — верно.
8. $\sqrt{2.5} \notin R$ — неверно.
9. $\sqrt{0.25} \in Q$ — верно.
10. $\sqrt{0.25} \in R$ — верно.
11. $\sqrt{0.25} \notin Q$ — неверно.
12. $\sqrt{0.25} \notin R$ — неверно.

Подсчитав количество верных утверждений, получаем: $2 + 2 + 2 = 6$.

Ответ: 6.