Страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Постройте в одной системе координат графики заданных функций и сделайте вывод о взаимном расположении построенных графиков:

19.6 а) $y = x^2$ и $y = -x^2$;

б) $y = 0,5x^2$ и $y = -0,5x^2$;

в) $y = 3,5x^2$ и $y = -3,5x^2$;

г) $y = \frac{1}{5}x^2$ и $y = -\frac{1}{5}x^2$.

а) $y = x^2$ и $y = -x^2$

Для построения графиков заданных функций, которые являются параболами вида $y=ax^2$, сначала определим ключевые характеристики и найдем координаты нескольких точек.

1. Построение графика функции $y = x^2$:
Это стандартная парабола. Коэффициент $a=1$, так как $a>0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке (0, 0).
Составим таблицу значений:

• при $x = 0, y = 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = 1^2 = 1$ → (1; 1)
• при $x = -1, y = (-1)^2 = 1$ → (-1; 1)
• при $x = 2, y = 2^2 = 4$ → (2; 4)
• при $x = -2, y = (-2)^2 = 4$ → (-2; 4)

2. Построение графика функции $y = -x^2$:
Коэффициент $a=-1$, так как $a<0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина также находится в точке (0, 0).
Составим таблицу значений:

• при $x = 0, y = -0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = -1^2 = -1$ → (1; -1)
• при $x = -1, y = -(-1)^2 = -1$ → (-1; -1)
• при $x = 2, y = -2^2 = -4$ → (2; -4)
• при $x = -2, y = -(-2)^2 = -4$ → (-2; -4)

3. Вывод о взаимном расположении:
Построив эти точки в одной системе координат и соединив их плавными линиями, мы получаем две параболы. Оба графика проходят через начало координат. График функции $y = -x^2$ является зеркальным отражением графика $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

Ответ: Графики функций $y = x^2$ и $y = -x^2$ — это параболы с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси абсцисс. Ветви параболы $y = x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -x^2$ — вниз.

б) $y = 0,5x^2$ и $y = -0,5x^2$

1. Построение графика функции $y = 0,5x^2$:
Это парабола с вершиной в точке (0, 0). Коэффициент $a=0,5$, так как $a>0$, ветви направлены вверх. Поскольку $|0,5|<1$, эта парабола будет шире, чем парабола $y = x^2$.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = 0,5 \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = 0,5 \cdot 1^2 = 0,5$ → (1; 0,5)
• при $x = -1, y = 0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5$ → (-1; 0,5)
• при $x = 2, y = 0,5 \cdot 2^2 = 2$ → (2; 2)
• при $x = -2, y = 0,5 \cdot (-2)^2 = 2$ → (-2; 2)

2. Построение графика функции $y = -0,5x^2$:
Это парабола с вершиной в точке (0, 0). Коэффициент $a=-0,5$, так как $a<0$, ветви направлены вниз. Эта парабола также шире, чем $y = -x^2$.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = -0,5 \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = -0,5 \cdot 1^2 = -0,5$ → (1; -0,5)
• при $x = -1, y = -0,5 \cdot (-1)^2 = -0,5$ → (-1; -0,5)
• при $x = 2, y = -0,5 \cdot 2^2 = -2$ → (2; -2)
• при $x = -2, y = -0,5 \cdot (-2)^2 = -2$ → (-2; -2)

3. Вывод о взаимном расположении:
Графики являются параболами с общей вершиной в начале координат. Они симметричны относительно оси Ox. Парабола $y = 0,5x^2$ открывается вверх, а $y = -0,5x^2$ — вниз.

Ответ: Графики функций $y = 0,5x^2$ и $y = -0,5x^2$ — это параболы с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси абсцисс. Ветви параболы $y = 0,5x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -0,5x^2$ — вниз.

в) $y = 3,5x^2$ и $y = -3,5x^2$

1. Построение графика функции $y = 3,5x^2$:
Это парабола с вершиной в (0, 0). Коэффициент $a=3,5 > 0$, ветви направлены вверх. Поскольку $|3,5|>1$, эта парабола будет уже, чем парабола $y=x^2$.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = 3,5 \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = 3,5 \cdot 1^2 = 3,5$ → (1; 3,5)
• при $x = -1, y = 3,5 \cdot (-1)^2 = 3,5$ → (-1; 3,5)

2. Построение графика функции $y = -3,5x^2$:
Это парабола с вершиной в (0, 0). Коэффициент $a=-3,5 < 0$, ветви направлены вниз. Эта парабола также будет узкой.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = -3,5 \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = -3,5 \cdot 1^2 = -3,5$ → (1; -3,5)
• при $x = -1, y = -3,5 \cdot (-1)^2 = -3,5$ → (-1; -3,5)

3. Вывод о взаимном расположении:
Графики являются параболами с общей вершиной в начале координат, которые симметричны относительно оси Ox. Парабола $y = 3,5x^2$ открывается вверх, а $y = -3,5x^2$ — вниз.

Ответ: Графики функций $y = 3,5x^2$ и $y = -3,5x^2$ — это параболы с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси абсцисс. Ветви параболы $y = 3,5x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -3,5x^2$ — вниз.

г) $y = \frac{1}{5}x^2$ и $y = -\frac{1}{5}x^2$

1. Построение графика функции $y = \frac{1}{5}x^2$:
Это парабола с вершиной в (0, 0). Коэффициент $a=\frac{1}{5}=0,2 > 0$, ветви направлены вверх. Поскольку $|\frac{1}{5}|<1$, эта парабола будет очень широкой.
Найдем точки, выбрав удобные значения $x$ (кратные 5):

• при $x = 0, y = \frac{1}{5} \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 2, y = \frac{1}{5} \cdot 2^2 = \frac{4}{5} = 0,8$ → (2; 0,8)
• при $x = -2, y = \frac{1}{5} \cdot (-2)^2 = 0,8$ → (-2; 0,8)
• при $x = 5, y = \frac{1}{5} \cdot 5^2 = 5$ → (5; 5)
• при $x = -5, y = \frac{1}{5} \cdot (-5)^2 = 5$ → (-5; 5)

2. Построение графика функции $y = -\frac{1}{5}x^2$:
Это парабола с вершиной в (0, 0). Коэффициент $a=-\frac{1}{5} < 0$, ветви направлены вниз. Эта парабола также будет очень широкой.
Найдем точки:

• при $x = 0, y = -\frac{1}{5} \cdot 0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 2, y = -\frac{1}{5} \cdot 2^2 = -0,8$ → (2; -0,8)
• при $x = -2, y = -\frac{1}{5} \cdot (-2)^2 = -0,8$ → (-2; -0,8)
• при $x = 5, y = -\frac{1}{5} \cdot 5^2 = -5$ → (5; -5)
• при $x = -5, y = -\frac{1}{5} \cdot (-5)^2 = -5$ → (-5; -5)

3. Вывод о взаимном расположении:
Графики являются параболами с общей вершиной в начале координат, симметричными относительно оси Ox. Парабола $y = \frac{1}{5}x^2$ открывается вверх, а $y = -\frac{1}{5}x^2$ — вниз.

Ответ: Графики функций $y = \frac{1}{5}x^2$ и $y = -\frac{1}{5}x^2$ — это параболы с общей вершиной в начале координат, симметричные друг другу относительно оси абсцисс. Ветви параболы $y = \frac{1}{5}x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -\frac{1}{5}x^2$ — вниз.

19.7 а) $y = x^2$ и $y = 2x^2$;

б) $y = -0.5x^2$ и $y = -3x^2$;

в) $y = 1.5x^2$ и $y = 2.5x^2$;

г) $y = -\frac{1}{3}x^2$ и $y = -x^2$.

19.8 Не выполняя построения графиков функций, ответьте на вопрос, как расположены в одной системе координат и по отношению друг к другу графики функций:

а) $y = 105x^2$ и $y = -105x^2$;

б) $y = -3,165x^2$ и $y = 3,165x^2$.

а)

Рассмотрим две функции: $y = 105x^2$ и $y = -105x^2$.

Обе функции относятся к виду $y = ax^2$, графиком которых является парабола. Основные свойства таких парабол:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Осью симметрии параболы является ось ординат (ось OY).
• Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$.

Для функции $y = 105x^2$ коэффициент $a = 105$. Поскольку $a > 0$, ветви этой параболы направлены вверх.

Для функции $y = -105x^2$ коэффициент $a = -105$. Поскольку $a < 0$, ветви этой параболы направлены вниз.

Сравним значения функций для одного и того же значения $x$. Если $y_1 = 105x^2$, а $y_2 = -105x^2$, то очевидно, что $y_2 = -y_1$. Это означает, что для любой точки $(x_0, y_0)$ на графике первой функции, точка $(x_0, -y_0)$ будет лежать на графике второй функции. Такое преобразование является симметрией относительно оси абсцисс (оси OX).

Таким образом, графики данных функций — это две параболы, которые имеют общую вершину в начале координат и симметричны друг другу относительно оси OX. Ветви одной направлены вверх, а другой — вниз.

Ответ: Графики функций являются параболами, симметричными относительно оси абсцисс. Обе параболы имеют вершину в начале координат. Ветви параболы $y = 105x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -105x^2$ направлены вниз.

б)

Рассмотрим функции $y = -3,165x^2$ и $y = 3,165x^2$.

Как и в предыдущем случае, мы имеем дело с функциями вида $y = ax^2$. Их графики — параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и осью симметрии OY.

Для функции $y = 3,165x^2$ коэффициент $a = 3,165$. Так как $a > 0$, ветви этой параболы направлены вверх.

Для функции $y = -3,165x^2$ коэффициент $a = -3,165$. Так как $a < 0$, ветви этой параболы направлены вниз.

Коэффициенты при $x^2$ у этих двух функций равны по модулю и противоположны по знаку ($|3,165| = |-3,165|$). Это значит, что, как и в пункте а), графики этих двух функций симметричны друг другу относительно оси абсцисс (оси OX). Они имеют одну и ту же форму, но одна "смотрит" вверх, а другая — вниз.

Ответ: Графики функций являются параболами, симметричными относительно оси абсцисс. Обе параболы имеют вершину в начале координат. Ветви параболы $y = 3,165x^2$ направлены вверх, а ветви параболы $y = -3,165x^2$ направлены вниз.

19.9 Постройте график функции:

а) $y = 2x^2$;

б) $y = 0,5x^2$;

в) $y = 3x^2$;

г) $y = 0,2x^2$.

Что можно сказать о взаимном расположении построенного графика и графика функции $y = x^2$?

а) $y = 2x^2$

Для построения графика функции $y = 2x^2$ составим таблицу значений. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Отметим точки $(-2, 8)$, $(-1, 2)$, $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(2, 8)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Взаимное расположение с графиком $y = x^2$:
График функции $y = 2x^2$ можно получить из графика функции $y = x^2$ путем растяжения от оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Это значит, что для любого значения $x$ ордината (значение $y$) точки на графике $y = 2x^2$ в 2 раза больше, чем ордината соответствующей точки на графике $y = x^2$. В результате парабола $y = 2x^2$ становится "уже" и расположена ближе к оси ординат ($Oy$), чем парабола $y = x^2$.

Ответ: График функции $y = 2x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх, полученная из графика $y = x^2$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$. Она расположена ближе к оси $Oy$.

б) $y = 0,5x^2$

Для построения графика функции $y = 0,5x^2$ составим таблицу значений. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0, 0)$.

Отметим точки $(-3, 4.5)$, $(-2, 2)$, $(-1, 0.5)$, $(0, 0)$, $(1, 0.5)$, $(2, 2)$, $(3, 4.5)$ и соединим их плавной линией.

Взаимное расположение с графиком $y = x^2$:
График функции $y = 0,5x^2$ можно получить из графика функции $y = x^2$ путем сжатия к оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Это значит, что для любого значения $x$ ордината точки на графике $y = 0,5x^2$ в 2 раза меньше, чем ордината соответствующей точки на графике $y = x^2$. В результате парабола $y = 0,5x^2$ становится "шире" и расположена дальше от оси ординат ($Oy$), чем парабола $y = x^2$.

Ответ: График функции $y = 0,5x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх, полученная из графика $y = x^2$ сжатием в 2 раза вдоль оси $Oy$. Она расположена дальше от оси $Oy$.

в) $y = 3x^2$

Для построения графика функции $y = 3x^2$ составим таблицу значений. Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Отметим точки $(-2, 12)$, $(-1, 3)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$, $(2, 12)$ и соединим их плавной линией.

Взаимное расположение с графиком $y = x^2$:
График функции $y = 3x^2$ получается из графика $y = x^2$ растяжением от оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Ордината каждой точки графика $y = 3x^2$ в 3 раза больше ординаты точки на графике $y = x^2$ при том же значении $x$. Парабола $y = 3x^2$ еще "уже", чем $y = 2x^2$, и расположена еще ближе к оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = 3x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх, полученная из графика $y = x^2$ растяжением в 3 раза вдоль оси $Oy$. Она расположена ближе к оси $Oy$.

г) $y = 0,2x^2$

Для построения графика функции $y = 0,2x^2$ составим таблицу значений. Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Отметим точки $(-5, 5)$, $(-2, 0.8)$, $(0, 0)$, $(2, 0.8)$, $(5, 5)$ и соединим их плавной линией.

Взаимное расположение с графиком $y = x^2$:
Так как $0,2 = \frac{1}{5}$, график функции $y = 0,2x^2$ можно получить из графика $y = x^2$ сжатием к оси $Ox$ вдоль оси $Oy$ в 5 раз. Ордината каждой точки графика $y = 0,2x^2$ в 5 раз меньше ординаты точки на графике $y = x^2$ при том же $x$. Парабола $y = 0,2x^2$ является самой "широкой" из всех представленных и расположена дальше всех от оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = 0,2x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх, полученная из графика $y = x^2$ сжатием в 5 раз вдоль оси $Oy$. Она расположена дальше от оси $Oy$.

19.10 Постройте график функции:

а) $y = -1.5x^2$;

б) $y = -3x^2$;

в) $y = -2.5x^2$;

г) $y = -0.5x^2$.

Что можно сказать о взаимном расположении построенного графика и графика функции $y = -x^2$?

а) $y = -1,5x^2$

Графиком функции $y = -1,5x^2$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1,5 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в начале координат — точке $(0; 0)$. График симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2
y | -6 | -1,5 | 0 | -1,5 | -6

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график данной функции.

Теперь сравним этот график с графиком функции $y = -x^2$. Оба графика — это параболы с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Однако, модуль коэффициента при $x^2$ у нашей функции больше единицы: $|-1,5| > |-1|$. Это означает, что график функции $y = -1,5x^2$ получается из графика $y = -x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 1,5 раза. Визуально эта парабола выглядит более «узкой» или «крутой», чем парабола $y = -x^2$. Все точки графика $y = -1,5x^2$ (кроме вершины) лежат ниже соответствующих точек графика $y = -x^2$.

Ответ: График функции $y = -1,5x^2$ — это парабола, которая является результатом растяжения графика $y = -x^2$ от оси абсцисс в 1,5 раза. Она более «узкая», чем парабола $y = -x^2$.

б) $y = -3x^2$

Графиком функции $y = -3x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз (так как $-3 < 0$).

Составим таблицу значений для построения:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2
y | -12 | -3 | 0 | -3 | -12

Построим график, отметив эти точки и соединив их плавной линией.

Сравним с графиком $y = -x^2$. Модуль коэффициента при $x^2$ равен $|-3| = 3$. Так как $3 > 1$, график функции $y = -3x^2$ получается из графика $y = -x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Эта парабола еще более «узкая» и «крутая», чем параболы $y = -x^2$ и $y = -1,5x^2$.

Ответ: График функции $y = -3x^2$ — это парабола, полученная растяжением графика $y = -x^2$ от оси абсцисс в 3 раза. Она является более «узкой», чем парабола $y = -x^2$.

в) $y = -2,5x^2$

Графиком функции $y = -2,5x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз (так как $-2,5 < 0$).

Составим таблицу значений для построения:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2
y | -10 | -2,5 | 0 | -2,5 | -10

Построим график по точкам.

Сравним с графиком $y = -x^2$. Модуль коэффициента при $x^2$ равен $|-2,5| = 2,5$. Так как $2,5 > 1$, график функции $y = -2,5x^2$ получается из графика $y = -x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2,5 раза. Эта парабола «уже», чем $y = -x^2$, но «шире», чем $y = -3x^2$.

Ответ: График функции $y = -2,5x^2$ — это парабола, полученная растяжением графика $y = -x^2$ от оси абсцисс в 2,5 раза. Она является более «узкой», чем парабола $y = -x^2$.

г) $y = -0,5x^2$

Графиком функции $y = -0,5x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз (так как $-0,5 < 0$).

Составим таблицу значений для построения:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3
y | -4,5 | -2 | -0,5 | 0 | -0,5 | -2 | -4,5

Построим график по точкам.

Сравним с графиком $y = -x^2$. Модуль коэффициента при $x^2$ равен $|-0,5| = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, график функции $y = -0,5x^2$ получается из графика $y = -x^2$ путем сжатия к оси $Ox$ в 2 раза (или с коэффициентом 0,5). Визуально эта парабола выглядит более «широкой» или «пологой», чем парабола $y = -x^2$. Все точки графика $y = -0,5x^2$ (кроме вершины) лежат выше соответствующих точек графика $y = -x^2$.

Ответ: График функции $y = -0,5x^2$ — это парабола, которая является результатом сжатия графика $y = -x^2$ к оси абсцисс в 2 раза. Она более «широкая», чем парабола $y = -x^2$.

19.11 Задайте число $k$ так, чтобы график функции $y = kx^2$ был расположен:

а) в первой и второй четвертях;

б) в третьей и четвёртой четвертях.

График функции $y = kx^2$ представляет собой параболу с вершиной в начале координат (точке $(0, 0)$). Направление ветвей параболы и, следовательно, её расположение на координатной плоскости, зависит от знака коэффициента $k$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ при любом значении $x$. Для всех точек параболы, кроме вершины, $x \neq 0$, и, следовательно, $x^2 > 0$.

а) в первой и второй четвертях;

В первой координатной четверти абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) положительны ($x > 0, y > 0$). Во второй четверти абсциссы отрицательны, а ординаты положительны ($x < 0, y > 0$). Таким образом, чтобы график функции был расположен в первой и второй четвертях, его ординаты ($y$) должны быть положительными для всех значений $x$, кроме $x=0$.

Рассмотрим уравнение $y = kx^2$. Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, знак $y$ определяется знаком коэффициента $k$. Чтобы $y$ был положителен ($y > 0$), коэффициент $k$ также должен быть положителен.

Таким образом, условие $k > 0$ обеспечивает, что ветви параболы направлены вверх, и её график (за исключением вершины) лежит в верхней полуплоскости, то есть в первой и второй координатных четвертях.

Например, можно взять $k=1$, $k=5$ или любое другое положительное число.

Ответ: $k > 0$ (любое положительное число).

б) в третьей и четвёртой четвертях.

В третьей координатной четверти абсциссы и ординаты отрицательны ($x < 0, y < 0$). В четвёртой четверти абсциссы положительны, а ординаты отрицательны ($x > 0, y < 0$). Следовательно, чтобы график функции находился в третьей и четвёртой четвертях, его ординаты ($y$) должны быть отрицательными для всех $x \neq 0$.

Из уравнения $y = kx^2$, где $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, следует, что для получения отрицательного значения $y$ ($y < 0$) коэффициент $k$ должен быть отрицательным.

При условии $k < 0$ ветви параболы будут направлены вниз, и её график (за исключением вершины) будет лежать в нижней полуплоскости, то есть в третьей и четвёртой координатных четвертях.

Например, можно взять $k=-1$, $k=-2.5$ или любое другое отрицательное число.

Ответ: $k < 0$ (любое отрицательное число).

19.12 Постройте график функции $y = 2x^2$. С помощью графика определите:

а) значения функции при $x = 0; 1; -2;

б) значения аргумента, если $y = 0; 2; 8;

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 1];

г) каким промежуткам принадлежит переменная $x$, если $y \in [2; 8].

Для решения задачи построим график функции $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику, составив таблицу значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Полученный график используем для ответа на вопросы.

а) значения функции при $x = 0; 1; -2$

Чтобы найти значение функции по графику, нужно найти заданное значение аргумента $x$ на оси абсцисс, провести перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем провести перпендикуляр от этой точки к оси ординат и определить значение $y$.

• При $x = 0$, точка на графике — это вершина параболы $(0, 0)$. Следовательно, $y = 0$.
• При $x = 1$, находим на графике точку с абсциссой 1. Ее ордината равна 2. Следовательно, $y = 2$.
• При $x = -2$, находим на графике точку с абсциссой -2. Ее ордината равна 8. Следовательно, $y = 8$.

Ответ: при $x=0$, $y=0$; при $x=1$, $y=2$; при $x=-2$, $y=8$.

б) значения аргумента, если $y = 0; 2; 8$

Чтобы найти значения аргумента по графику, нужно найти заданное значение функции $y$ на оси ординат, провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком, а затем опустить перпендикуляры из точек пересечения на ось абсцисс и определить значения $x$.

• При $y = 0$, горизонтальная прямая $y=0$ совпадает с осью абсцисс и пересекает параболу в одной точке $(0, 0)$. Следовательно, $x = 0$.
• При $y = 2$, прямая $y=2$ пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -1$ и $x = 1$.
• При $y = 8$, прямая $y=8$ пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: если $y=0$, то $x=0$; если $y=2$, то $x = \pm 1$; если $y=8$, то $x = \pm 2$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 1]$

Рассмотрим часть графика, где $x$ изменяется от -2 до 1. Это дуга параболы, начинающаяся в точке $(-2, 8)$ и заканчивающаяся в точке $(1, 2)$, проходящая через вершину $(0, 0)$.

• Наименьшее значение функции на этом отрезке соответствует самой низкой точке на выделенной дуге. Это вершина параболы $(0, 0)$, так как $0 \in [-2; 1]$. Значит, $y_{наим} = 0$.
• Наибольшее значение функции на этом отрезке соответствует самой высокой точке на выделенной дуге. Сравним значения функции на концах отрезка: $y(-2) = 8$ и $y(1) = 2$. Наибольшее из них равно 8. Значит, $y_{наиб} = 8$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 1]$ равно 0, а наибольшее равно 8.

г) каким промежуткам принадлежит переменная $x$, если $y \in [2; 8]$

Нам нужно найти все такие значения $x$, для которых значения $y$ находятся между 2 и 8 включительно. На графике это соответствует частям параболы, расположенным между горизонтальными прямыми $y=2$ и $y=8$.

• Прямая $y=2$ пересекает график в точках $x=-1$ и $x=1$.
• Прямая $y=8$ пересекает график в точках $x=-2$ и $x=2$.

Условию $y \in [2; 8]$ удовлетворяют две части графика: одна в левой полуплоскости, другая — в правой.

• Для левой части абсциссы $x$ изменяются от -2 до -1. Таким образом, $x \in [-2; -1]$.
• Для правой части абсциссы $x$ изменяются от 1 до 2. Таким образом, $x \in [1; 2]$.

Объединив эти два промежутка, получаем искомое множество значений $x$.

Ответ: $x \in [-2; -1] \cup [1; 2]$.

19.13 Постройте график функции $y = -x^2$. С помощью графика определите:

а) значения функции при $x = 0; -2; 3;$

б) значения аргумента, если $y = 0; -4; -9;$

в) наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале $(-3; 1];$

г) каким промежуткам принадлежит переменная $x$, если $y \in [-4; -1).$

Для решения задачи необходимо построить и проанализировать график функции $y = -x^2$.

График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Она симметрична относительно оси $y$. Для построения найдем несколько контрольных точек, подставляя значения $x$ в уравнение:
при $x=0$, $y=0$;
при $x=1$, $y=-(1)^2=-1$; при $x=-1$, $y=-(-1)^2=-1$;
при $x=2$, $y=-(2)^2=-4$; при $x=-2$, $y=-(-2)^2=-4$;
при $x=3$, $y=-(3)^2=-9$; при $x=-3$, $y=-(-3)^2=-9$.

Соединив эти точки плавной линией, получаем параболу. Далее, используя этот график (мысленно или нарисовав его), отвечаем на вопросы.

а) значения функции при x = 0; -2; 3;

Чтобы найти значение функции по значению аргумента, находим на оси $x$ заданную точку и определяем, какая координата $y$ у точки на параболе с такой абсциссой.
При $x = 0$, график проходит через вершину $(0, 0)$, следовательно $y = 0$.
При $x = -2$, находим на графике точку с абсциссой $-2$. Это точка $(-2, -4)$, следовательно $y = -4$.
При $x = 3$, находим на графике точку с абсциссой $3$. Это точка $(3, -9)$, следовательно $y = -9$.
Ответ: при $x=0, y=0$; при $x=-2, y=-4$; при $x=3, y=-9$.

б) значения аргумента, если y = 0; -4; -9;

Чтобы найти значение аргумента по значению функции, находим на оси $y$ заданную точку и определяем, какие координаты $x$ у точек на параболе с такой ординатой.
При $y = 0$, на графике есть одна точка $(0, 0)$, следовательно $x = 0$.
При $y = -4$, на графике есть две симметричные точки $(-2, -4)$ и $(2, -4)$, следовательно $x = -2$ и $x = 2$.
При $y = -9$, на графике есть две симметричные точки $(-3, -9)$ и $(3, -9)$, следовательно $x = -3$ и $x = 3$.
Ответ: если $y=0$, то $x=0$; если $y=-4$, то $x = \pm 2$; если $y=-9$, то $x = \pm 3$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале (-3; 1];

Рассмотрим поведение функции на промежутке $x \in (-3; 1]$.
Наибольшее значение: так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина $(0, 0)$ является точкой максимума. Поскольку $x=0$ принадлежит промежутку $(-3; 1]$, то наибольшее значение функции на этом промежутке равно $0$.
Наименьшее значение: нужно проверить значения функции на концах промежутка. На правом конце, в точке $x=1$ (которая включена в промежуток), значение функции $y(1) = -(1)^2 = -1$. Левый конец $x=-3$ не входит в промежуток, поэтому функция только стремится к значению $y(-3) = -(-3)^2 = -9$, но никогда его не достигает. Таким образом, на заданном полуинтервале функция может принимать значения, сколь угодно близкие к $-9$ (например, $-8.999$), но никогда не равные $-9$. Следовательно, наименьшего значения у функции на этом полуинтервале не существует.
Ответ: $y_{наиб} = 0$; наименьшее значение не существует.

г) каким промежуткам принадлежит переменная x, если y ∈ [-4; -1);

Требуется найти значения $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-4 \le y < -1$.
Подставим $y = -x^2$: $-4 \le -x^2 < -1$.
Умножим все части неравенства на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные: $4 \ge x^2 > 1$.
Это неравенство эквивалентно двум условиям, которые должны выполняться одновременно: $x^2 \le 4$ и $x^2 > 1$.
Решением неравенства $x^2 \le 4$ является промежуток $x \in [-2, 2]$.
Решением неравенства $x^2 > 1$ является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Найдем пересечение этих решений. Это будет объединение двух промежутков: от $-2$ (включительно) до $-1$ (не включительно) и от $1$ (не включительно) до $2$ (включительно).
Графически это соответствует частям параболы, которые лежат ниже прямой $y=-1$ (не включая саму прямую) и выше или на прямой $y=-4$.
Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (1; 2]$.