Страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

19.20 Выясните, является ли ограниченной сверху функция, график которой изображён на заданном рисунке, и если да, то найдите наибольшее значение функции:

а) рис. 17;

б) рис. 18;

в) рис. 19;

г) рис. 20.

а) рис. 17

На графике изображена линейная функция. Область значений этой функции — множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty, +\infty)$. Поскольку значения функции могут быть сколь угодно большими, не существует такого числа $M$, которое было бы больше или равно всем значениям функции. Таким образом, функция не является ограниченной сверху и, следовательно, не имеет наибольшего значения.
Ответ: функция не является ограниченной сверху.

б) рис. 18

На графике изображена функция, которая при $x \to -\infty$ (то есть при движении влево по оси абсцисс) неограниченно возрастает, так как ее график уходит в бесконечность вверх ($y \to +\infty$). Это означает, что область значений функции не ограничена сверху. Следовательно, функция не является ограниченной сверху и не имеет наибольшего значения.
Ответ: функция не является ограниченной сверху.

в) рис. 19

На графике изображена парабола с ветвями, направленными вниз. Самая высокая точка графика — это его вершина, которая находится в точке $(0, 0)$. Значение функции в этой точке равно 0. Для всех остальных значений аргумента $x$ значения функции $y$ меньше нуля. Таким образом, для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \le 0$. Это означает, что функция ограничена сверху (например, числом 0). Наибольшее значение функции — это ее значение в вершине, $y_{max} = 0$.
Ответ: функция является ограниченной сверху, наибольшее значение равно 0.

г) рис. 20

График показывает, что функция определена для $x \ge -1$. Из графика видно, что наибольшее значение достигается при $x \ge 2$, где функция принимает постоянное значение $y=8$. Для всех $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \le 8$. Таким образом, функция ограничена сверху. Ее наибольшее значение равно 8, то есть $y_{max} = 8$.
Ответ: функция является ограниченной сверху, наибольшее значение равно 8.

19.21 Является ли ограниченной функция, график которой изображён:

а) на рис. 21;

б) на рис. 22;

в) на рис. 23;

г) на рис. 24?

Puc. 21

$y$, $x$, $O$, $-3$, $-1$, $1$, $3$, $1$

Puc. 22

$y$, $x$, $O$, $1$, $5$, $1$, $8$

Puc. 23

$y$, $x$, $O$, $1$, $1$, $-2$

Puc. 24

$y$, $x$, $O$, $1$, $2$, $1$, $2$

Функция называется ограниченной, если существует такое число $M > 0$, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется неравенство $|f(x)| \le M$. Геометрически это означает, что весь график функции лежит в полосе между прямыми $y = -M$ и $y = M$. Иными словами, функция должна быть ограничена и сверху, и снизу.

а) на рис. 21
Анализируя график, мы видим, что все значения функции (координаты $y$) находятся в определённом диапазоне. Самое низкое значение функция принимает в точке $x=0$, и это значение равно $y=0$. Это нижняя граница функции. Самые высокие значения функция принимает на горизонтальных участках графика, где $y=5$. Это верхняя граница функции. Таким образом, для любого $x$ из области определения выполняется двойное неравенство $0 \le y \le 5$. Поскольку функция ограничена и снизу (числом 0), и сверху (числом 5), она является ограниченной.
Ответ: Да, является ограниченной.

б) на рис. 22
Из графика видно, что наибольшее значение функции равно 8. Это означает, что функция ограничена сверху числом $M=8$, то есть для всех $x$ выполняется $y \le 8$. Однако при $x > 0$ график представляет собой луч, который уходит вниз бесконечно далеко. Это значит, что значения функции стремятся к $-\infty$ при $x \to +\infty$. Следовательно, не существует такого числа $m$, которым функция была бы ограничена снизу (т.е. не существует $m$, для которого $y \ge m$ для всех $x$). Так как функция не ограничена снизу, она не является ограниченной.
Ответ: Нет, не является ограниченной.

в) на рис. 23
На графике видно, что наименьшее значение функции равно -2. Это означает, что функция ограничена снизу числом $m=-2$, то есть для всех $x$ выполняется $y \ge -2$. Однако при $x > -1$ график уходит вверх бесконечно далеко. Это значит, что значения функции стремятся к $+\infty$ при $x \to +\infty$. Следовательно, не существует такого числа $M$, которым функция была бы ограничена сверху (т.е. не существует $M$, для которого $y \le M$ для всех $x$). Так как функция не ограничена сверху, она не является ограниченной.
Ответ: Нет, не является ограниченной.

г) на рис. 24
График этой функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Когда $x$ приближается к 0 справа ($x \to 0^+$), значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$). Это означает, что функция не ограничена сверху. Когда $x$ приближается к 0 слева ($x \to 0^-$), значения функции неограниченно убывают ($y \to -\infty$). Это означает, что функция не ограничена снизу. Поскольку функция не ограничена ни сверху, ни снизу, она не является ограниченной.
Ответ: Нет, не является ограниченной.