Номер 19.13, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.13, страница 102.

Условие.

19.13 Постройте график функции $y = -x^2$. С помощью графика определите:

а) значения функции при $x = 0; -2; 3;$

б) значения аргумента, если $y = 0; -4; -9;$

в) наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале $(-3; 1];$

г) каким промежуткам принадлежит переменная $x$, если $y \in [-4; -1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи необходимо построить и проанализировать график функции $y = -x^2$.

График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Она симметрична относительно оси $y$. Для построения найдем несколько контрольных точек, подставляя значения $x$ в уравнение:
при $x=0$, $y=0$;
при $x=1$, $y=-(1)^2=-1$; при $x=-1$, $y=-(-1)^2=-1$;
при $x=2$, $y=-(2)^2=-4$; при $x=-2$, $y=-(-2)^2=-4$;
при $x=3$, $y=-(3)^2=-9$; при $x=-3$, $y=-(-3)^2=-9$.

Соединив эти точки плавной линией, получаем параболу. Далее, используя этот график (мысленно или нарисовав его), отвечаем на вопросы.

а) значения функции при x = 0; -2; 3;

Чтобы найти значение функции по значению аргумента, находим на оси $x$ заданную точку и определяем, какая координата $y$ у точки на параболе с такой абсциссой.
При $x = 0$, график проходит через вершину $(0, 0)$, следовательно $y = 0$.
При $x = -2$, находим на графике точку с абсциссой $-2$. Это точка $(-2, -4)$, следовательно $y = -4$.
При $x = 3$, находим на графике точку с абсциссой $3$. Это точка $(3, -9)$, следовательно $y = -9$.
Ответ: при $x=0, y=0$; при $x=-2, y=-4$; при $x=3, y=-9$.

б) значения аргумента, если y = 0; -4; -9;

Чтобы найти значение аргумента по значению функции, находим на оси $y$ заданную точку и определяем, какие координаты $x$ у точек на параболе с такой ординатой.
При $y = 0$, на графике есть одна точка $(0, 0)$, следовательно $x = 0$.
При $y = -4$, на графике есть две симметричные точки $(-2, -4)$ и $(2, -4)$, следовательно $x = -2$ и $x = 2$.
При $y = -9$, на графике есть две симметричные точки $(-3, -9)$ и $(3, -9)$, следовательно $x = -3$ и $x = 3$.
Ответ: если $y=0$, то $x=0$; если $y=-4$, то $x = \pm 2$; если $y=-9$, то $x = \pm 3$.

в) наибольшее и наименьшее значения функции на полуинтервале (-3; 1];

Рассмотрим поведение функции на промежутке $x \in (-3; 1]$.
Наибольшее значение: так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина $(0, 0)$ является точкой максимума. Поскольку $x=0$ принадлежит промежутку $(-3; 1]$, то наибольшее значение функции на этом промежутке равно $0$.
Наименьшее значение: нужно проверить значения функции на концах промежутка. На правом конце, в точке $x=1$ (которая включена в промежуток), значение функции $y(1) = -(1)^2 = -1$. Левый конец $x=-3$ не входит в промежуток, поэтому функция только стремится к значению $y(-3) = -(-3)^2 = -9$, но никогда его не достигает. Таким образом, на заданном полуинтервале функция может принимать значения, сколь угодно близкие к $-9$ (например, $-8.999$), но никогда не равные $-9$. Следовательно, наименьшего значения у функции на этом полуинтервале не существует.
Ответ: $y_{наиб} = 0$; наименьшее значение не существует.

г) каким промежуткам принадлежит переменная x, если y ∈ [-4; -1);

Требуется найти значения $x$, для которых выполняется двойное неравенство $-4 \le y < -1$.
Подставим $y = -x^2$: $-4 \le -x^2 < -1$.
Умножим все части неравенства на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные: $4 \ge x^2 > 1$.
Это неравенство эквивалентно двум условиям, которые должны выполняться одновременно: $x^2 \le 4$ и $x^2 > 1$.
Решением неравенства $x^2 \le 4$ является промежуток $x \in [-2, 2]$.
Решением неравенства $x^2 > 1$ является объединение промежутков $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Найдем пересечение этих решений. Это будет объединение двух промежутков: от $-2$ (включительно) до $-1$ (не включительно) и от $1$ (не включительно) до $2$ (включительно).
Графически это соответствует частям параболы, которые лежат ниже прямой $y=-1$ (не включая саму прямую) и выше или на прямой $y=-4$.
Ответ: $x \in [-2; -1) \cup (1; 2]$.