Страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

17.9 Постройте график функции $y = |x|$. С помощью графика най- дите:

а) значения $y$ при $x = 5; 0; -2,5;$

б) значения $x$, если $y = 7; 3; 1;$

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-4; -1];$

г) значения $x$, при которых функция убывает, возрастает.

Для решения задачи построим график функции $y = |x|$.

По определению модуля числа:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$

Таким образом, график функции $y = |x|$ состоит из двух частей:

• График функции $y = x$ на промежутке $[0, +\infty)$. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и являющийся биссектрисой I координатного угла.
• График функции $y = -x$ на промежутке $(-\infty, 0)$. Это луч, выходящий из точки $(0, 0)$ и являющийся биссектрисой II координатного угла.

Вместе эти два луча образуют фигуру в виде "галочки" или буквы "V" с вершиной в начале координат.

Теперь, используя этот график, ответим на вопросы.

а) значения у при x = 5; 0; -2,5

Чтобы найти значение $y$ по известному $x$, нужно найти на оси абсцисс ($Ox$) заданное значение $x$, подняться или опуститься до пересечения с графиком функции, а затем от этой точки провести перпендикуляр к оси ординат ($Oy$) и определить соответствующее значение $y$.

• При $x = 5$: Находим на графике точку с абсциссой 5. Это точка на луче $y=x$. Ордината этой точки равна $y = |5| = 5$.
• При $x = 0$: Находим на графике точку с абсциссой 0. Это вершина графика, точка $(0,0)$. Ордината равна $y = |0| = 0$.
• При $x = -2,5$: Находим на графике точку с абсциссой -2,5. Это точка на луче $y=-x$. Ордината этой точки равна $y = |-2,5| = 2,5$.

Ответ: при $x = 5$, $y = 5$; при $x = 0$, $y = 0$; при $x = -2,5$, $y = 2,5$.

б) значения x, если y = 7; 3; 1

Чтобы найти значения $x$ по известному $y$, нужно найти на оси ординат ($Oy$) заданное значение $y$, провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком функции, а затем из точек пересечения опустить перпендикуляры на ось абсцисс ($Ox$) и определить соответствующие значения $x$.

• Если $y = 7$: Горизонтальная прямая $y=7$ пересекает график в двух точках. Для первой точки $x = 7$, для второй $x = -7$.
• Если $y = 3$: Горизонтальная прямая $y=3$ пересекает график в двух точках. Для них $x = 3$ и $x = -3$.
• Если $y = 1$: Горизонтальная прямая $y=1$ пересекает график в двух точках. Для них $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: если $y=7$, то $x = 7$ или $x = -7$; если $y=3$, то $x = 3$ или $x = -3$; если $y=1$, то $x = 1$ или $x = -1$.

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-4; -1]

Рассмотрим часть графика функции, соответствующую отрезку $x \in [-4; -1]$. На этом отрезке функция имеет вид $y = -x$. Эта линейная функция является убывающей.
Следовательно, своего наибольшего значения на отрезке она достигает в левом конце отрезка, а наименьшего — в правом.

• Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = |-4| = 4$.
• Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = |-1| = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-4; -1]$ равно 1, наибольшее значение равно 4.

г) значения x, при которых функция убывает, возрастает

По графику видно, что:

• При движении по графику слева направо на промежутке от $-\infty$ до $0$ график "спускается вниз", то есть значения $y$ уменьшаются. Это означает, что функция убывает.
• В точке $x=0$ происходит смена убывания на возрастание. Это точка минимума.
• При движении по графику слева направо на промежутке от $0$ до $+\infty$ график "поднимается вверх", то есть значения $y$ увеличиваются. Это означает, что функция возрастает.

Ответ: функция убывает при $x \in (-\infty, 0]$; функция возрастает при $x \in [0, +\infty)$.

17.10 Постройте график функции $y = -|x|$. С помощью графика найдите:

а) значения $y$ при $x = -6; -1; 4;$

б) значения $x$, если $y = -8; -6; 0;$

в) какому промежутку принадлежит переменная $y$, если $x \in [-1; 4];$

г) значения $x$, при которых функция убывает, возрастает.

Для построения графика функции $y = -|x|$ необходимо раскрыть модуль. Функция $y = -|x|$ может быть записана как система:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ -(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$
что упрощается до:
$y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат (0, 0):
1. Луч $y = x$ для отрицательных значений $x$ (расположен в III координатной четверти).
2. Луч $y = -x$ для неотрицательных значений $x$ (расположен в IV координатной четверти).

График представляет собой "перевернутую галочку" с вершиной в точке (0, 0). Все значения функции, кроме $y=0$, являются отрицательными.

а) Найдем значения $y$ при заданных значениях $x$ с помощью формулы $y=-|x|$.

Если $x = -6$, то $y = -|-6| = -6$.

Если $x = -1$, то $y = -|-1| = -1$.

Если $x = 4$, то $y = -|4| = -4$.

На графике этим значениям соответствуют точки (-6, -6), (-1, -1) и (4, -4).

Ответ: при $x=-6$, $y=-6$; при $x=-1$, $y=-1$; при $x=4$, $y=-4$.

б) Найдем значения $x$, если известны значения $y$. Для этого решим уравнение $y = -|x|$ относительно $x$, что равносильно уравнению $|x| = -y$.

Если $y = -8$, то $|x| = -(-8) = 8$. Отсюда $x=8$ или $x=-8$.

Если $y = -6$, то $|x| = -(-6) = 6$. Отсюда $x=6$ или $x=-6$.

Если $y = 0$, то $|x| = 0$. Отсюда $x=0$.

На графике это означает найти точки с заданной ординатой. Например, прямая $y=-8$ пересекает график функции в двух точках: (-8, -8) и (8, -8).

Ответ: если $y=-8$, то $x = \pm 8$; если $y=-6$, то $x = \pm 6$; если $y=0$, то $x=0$.

в) Найдем, какому промежутку принадлежит переменная $y$, если $x \in [-1; 4]$.

Для нахождения множества значений $y$ на отрезке $x \in [-1; 4]$, нужно найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
1. Найдем значения на концах отрезка:
$y(-1) = -|-1| = -1$.
$y(4) = -|4| = -4$.
2. Вершина графика $y = -|x|$ находится в точке $x=0$, которая принадлежит отрезку $[-1; 4]$. В этой точке функция достигает своего глобального максимума: $y(0) = -|0| = 0$.
3. Сравниваем полученные значения: $y_{max} = 0$, $y_{min} = -4$.
Следовательно, на отрезке $x \in [-1; 4]$ переменная $y$ принимает все значения от -4 до 0 включительно.

Ответ: $y \in [-4; 0]$.

г) Найдем значения $x$, при которых функция убывает, возрастает.

Анализируя график функции $y=-|x|$, мы видим, что:
1. При движении по оси $x$ слева направо до точки $x=0$, график "поднимается". Это означает, что функция возрастает. Это происходит на промежутке $(-\infty; 0]$.
2. При движении по оси $x$ слева направо от точки $x=0$, график "опускается". Это означает, что функция убывает. Это происходит на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = |x|$:

17.11 a) На отрезке $[-1; 1];

б) на интервале $(-4; 2);

в) на отрезке $[2; 7];

г) на интервале $(-2; 1).

а) На отрезке [-1; 1];Рассмотрим функцию $y = |x|$ на замкнутом отрезке $[-1; 1]$. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на отрезке, нужно найти её значения на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее. Функция $y = |x|$ имеет точку минимума при $x=0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка: $y(0) = |0| = 0$; $y(-1) = |-1| = 1$; $y(1) = |1| = 1$. Сравнивая полученные значения, находим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $0$, а наибольшее равно $1$.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $1$.

б) на интервале (-4; 2);Рассмотрим функцию $y = |x|$ на открытом интервале $(-4; 2)$. Точка минимума функции $x=0$ принадлежит этому интервалу. Значение функции в этой точке $y(0) = |0| = 0$. Поскольку $y = |x| \ge 0$ для любых $x$, то $0$ является наименьшим значением функции на данном интервале. Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на концах интервала. При $x$, стремящемся к $-4$, значение $y = |x|$ стремится к $|-4| = 4$. При $x$, стремящемся к $2$, значение $y = |x|$ стремится к $|2| = 2$. Наибольшим из этих предельных значений является $4$. Однако, так как интервал открытый, $x$ никогда не достигает значения $-4$, и, следовательно, $y$ никогда не достигает значения $4$, хотя и может быть сколь угодно близко к нему. Таким образом, наибольшего значения на данном интервале функция не достигает.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [2; 7];Рассмотрим функцию $y = |x|$ на отрезке $[2; 7]$. На этом отрезке $x > 0$, поэтому функция $y = |x|$ совпадает с функцией $y = x$. Функция $y = x$ является возрастающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[2; 7]$. Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом. Вычислим значения на концах отрезка: $y(2) = |2| = 2$; $y(7) = |7| = 7$.
Ответ: наименьшее значение $2$, наибольшее значение $7$.

г) на интервале (-2; 1).Рассмотрим функцию $y = |x|$ на открытом интервале $(-2; 1)$. Точка минимума функции $x=0$ принадлежит этому интервалу. Значение функции в этой точке $y(0) = |0| = 0$. Поскольку $y = |x| \ge 0$ для любых $x$, то $0$ является наименьшим значением функции на данном интервале. Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на концах интервала. При $x$, стремящемся к $-2$, значение $y = |x|$ стремится к $|-2| = 2$. При $x$, стремящемся к $1$, значение $y = |x|$ стремится к $|1| = 1$. Наибольшим из этих предельных значений является $2$. Однако, так как интервал открытый, $x$ никогда не достигает значения $-2$, и, следовательно, $y$ никогда не достигает значения $2$, хотя и может быть сколь угодно близко к нему. Таким образом, наибольшего значения на данном интервале функция не достигает.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

17.12 a) На луче $[0; +\infty)$;

б) на полуинтервале $(-1.5; 7]$;

в) на луче $[-2; +\infty)$;

г) на полуинтервале $[-3; 1)$.

Для решения задачи найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 6x + 13$ на заданных промежутках. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$y_v = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4$

Вершина параболы, являющаяся точкой минимума функции, находится в точке $(3; 4)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

а) На луче $[0; +\infty)$

Промежуток $[0; +\infty)$ содержит точку минимума функции $x_v=3$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче достигается в вершине параболы.

$y_{наим} = y(3) = 4$.

Поскольку при $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшего значения не существует.

б) на полуинтервале $(-1.5; 7]$

Промежуток $(-1.5; 7]$ содержит точку минимума функции $x_v=3$. Значит, наименьшее значение функции на этом полуинтервале равно значению в вершине.

$y_{наим} = y(3) = 4$.

Для определения наибольшего значения сравним значения функции на концах промежутка. На правом конце в точке $x=7$ значение функции равно:

$y(7) = 7^2 - 6(7) + 13 = 49 - 42 + 13 = 20$.

Левый конец $x=-1.5$ не входит в промежуток. Значение функции в этой точке было бы:

$y(-1.5) = (-1.5)^2 - 6(-1.5) + 13 = 2.25 + 9 + 13 = 24.25$.

Так как точка $x=-1.5$ находится дальше от вершины ($x_v=3$), чем точка $x=7$, то наибольшего значения функция достигала бы именно в ней. Но поскольку $x=-1.5$ не принадлежит заданному полуинтервалу, функция лишь стремится к значению $24.25$, но не достигает его. Следовательно, наибольшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшего значения не существует.

в) на луче $[-2; +\infty)$

Промежуток $[-2; +\infty)$ содержит точку минимума функции $x_v=3$. Таким образом, наименьшее значение функции на этом луче совпадает со значением в вершине.

$y_{наим} = y(3) = 4$.

При $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают, поэтому наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшего значения не существует.

г) на полуинтервале $[-3; 1)$

Промежуток $[-3; 1)$ не содержит точку минимума функции $x_v=3$. Весь промежуток находится на участке, где функция монотонно убывает (слева от вершины).

Следовательно, наибольшее значение на этом полуинтервале функция принимает в левой крайней точке $x=-3$, которая включена в промежуток.

$y_{наиб} = y(-3) = (-3)^2 - 6(-3) + 13 = 9 + 18 + 13 = 40$.

Наименьшее значение функция принимала бы в правой крайней точке $x=1$. Однако эта точка не включена в промежуток. Значение функции в этой точке $y(1) = 1^2 - 6(1) + 13 = 8$. Поскольку $x=1$ не принадлежит промежутку, функция стремится к значению 8, но не достигает его. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение 40, наименьшего значения не существует.

17.13 Постройте графики функций $y = |x|$ и $y = 3$.

а) Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций.

б) Обведите ту часть графика функции $y = |x|$, которая находится ниже прямой $y = 3$.

в) Определите, при каких значениях $x$, для функции $y = |x|$ выполняется условие $y < 3$.

г) При каких значениях $x$ выполняется условие $|x| > 3$?

Для решения задачи построим графики функций $y = |x|$ и $y = 3$ в одной системе координат.
1. График функции $y = |x|$ — это объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График симметричен относительно оси ординат ($Oy$) и имеет вершину в начале координат $(0, 0)$.
2. График функции $y = 3$ — это прямая, параллельная оси абсцисс ($Ox$) и проходящая через точку $(0, 3)$.

а) Абсциссы точек пересечения графиков находим, решив уравнение, полученное приравниванием функций:
$|x| = 3$.
Данное уравнение имеет два корня, так как модуль числа равен 3, если само число равно 3 или -3.
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Ответ: -3; 3.

б) Часть графика функции $y = |x|$, которая находится ниже прямой $y = 3$, расположена между точками их пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 3. Таким образом, искомая часть графика — это V-образный сегмент, соединяющий точки $(-3, 3)$, $(0, 0)$ и $(3, 3)$.
Ответ: Часть графика $y=|x|$, где $x$ изменяется от -3 до 3.

в) Для функции $y = |x|$ условие $y < 3$ эквивалентно неравенству $|x| < 3$.
Решением этого неравенства является двойное неравенство:
$-3 < x < 3$.
Геометрически это интервал по оси $x$, для которого точки графика $y = |x|$ лежат ниже прямой $y = 3$.
Ответ: $x \in (-3, 3)$.

г) Условие $|x| > 3$ означает, что нужно решить одноименное неравенство.
Неравенство $|x| > 3$ равносильно совокупности двух неравенств:
$x > 3$ или $x < -3$.
Геометрически это соответствует двум лучам на оси $x$, для которых ветви графика $y = |x|$ лежат выше прямой $y = 3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

17.14 Постройте график функции $y = |x|$. По графику найдите:

а) при каких значениях $x$ $y = 2$;

б) при каких значениях $x$ $y > 2$, $y < 2$;

в) при каких значениях $x$ $2 < y < 5$;

г) при каких значениях $y$ $x < -2$.

Для построения графика функции $y = |x|$ раскроем модуль. По определению, модуль числа $x$ равен:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Таким образом, график функции $y = |x|$ состоит из двух частей:

• При $x \ge 0$ (в правой полуплоскости, включая ось $Oy$), график совпадает с графиком функции $y = x$. Это биссектриса первого координатного угла.
• При $x < 0$ (в левой полуплоскости), график совпадает с графиком функции $y = -x$. Это биссектриса второго координатного угла.

Совместив эти две части, получим график функции $y = |x|$, который представляет собой "галочку" с вершиной в начале координат (0, 0).

Построим график функции $y = |x|$ и вспомогательные прямые $y=2$, $y=5$ и $y=-2$ для решения последующих задач.

а) при каких значениях x y = 2;

Чтобы найти значения $x$, при которых $y = 2$, нужно найти точки пересечения графика функции $y = |x|$ с горизонтальной прямой $y = 2$. На графике видно, что прямая $y = 2$ (показана красным пунктиром) пересекает график $y = |x|$ в двух точках. Найдем их координаты:

1. Для ветви $y = x$ (при $x \ge 0$): $x = 2$. Координаты точки: (2, 2).

2. Для ветви $y = -x$ (при $x < 0$): $-x = 2$, откуда $x = -2$. Координаты точки: (-2, 2).

Следовательно, $y = 2$ при $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $x = -2$ и $x = 2$.

б) при каких значениях x y > 2, y < 2;

Рассмотрим два неравенства по отдельности.

1. При каких значениях $x$ выполняется $y > 2$:

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых точки графика $y = |x|$ лежат выше прямой $y = 2$. Из графика видно, что это происходит на двух интервалах: левее точки $x = -2$ и правее точки $x = 2$.

Алгебраически: $|x| > 2$ равносильно совокупности $x > 2$ или $x < -2$.

Ответ: при $y > 2$, $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

2. При каких значениях $x$ выполняется $y < 2$:

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых точки графика $y = |x|$ лежат ниже прямой $y = 2$. Из графика видно, что это происходит на интервале между точками $x = -2$ и $x = 2$. При этом, так как $|x| \ge 0$, то значения $y$ находятся в промежутке $0 \le y < 2$.

Алгебраически: $|x| < 2$ равносильно двойному неравенству $-2 < x < 2$.

Ответ: при $y < 2$, $x \in (-2; 2)$.

в) при каких значениях x 2 < y < 5;

Нам нужно найти значения $x$, для которых значения $y$ лежат строго между 2 и 5. Это соответствует частям графика $y = |x|$, которые находятся между горизонтальными прямыми $y = 2$ (красный пунктир) и $y = 5$ (зеленый пунктир).

Сначала найдем точки пересечения графика с прямой $y=5$: $|x|=5$, что дает $x=5$ и $x=-5$.

Из графика видно, что условию $2 < y < 5$ удовлетворяют два интервала для $x$:

1. На левой ветви ($y=-x$): $-5 < x < -2$.

2. На правой ветви ($y=x$): $2 < x < 5$.

Объединяя эти два интервала, получаем искомое множество значений $x$.

Ответ: $x \in (-5; -2) \cup (2; 5)$.

г) при каких значениях x y < -2.

Нужно найти значения $x$, при которых $y < -2$, то есть $|x| < -2$.

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Неравенство $|x| < -2$ означает, что неотрицательное число должно быть меньше отрицательного числа -2, что невозможно.

На графике это можно увидеть так: прямая $y=-2$ (показана фиолетовым пунктиром) расположена полностью ниже графика $y = |x|$, и у них нет ни одной общей точки, а весь график $y=|x|$ лежит выше этой прямой.

Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых $y < -2$.

Ответ: решений нет.