Номер 17.11, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.11, страница 93.

Условие.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = |x|$:

17.11 a) На отрезке $[-1; 1];

б) на интервале $(-4; 2);

в) на отрезке $[2; 7];

г) на интервале $(-2; 1).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) На отрезке [-1; 1];Рассмотрим функцию $y = |x|$ на замкнутом отрезке $[-1; 1]$. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на отрезке, нужно найти её значения на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее. Функция $y = |x|$ имеет точку минимума при $x=0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка: $y(0) = |0| = 0$; $y(-1) = |-1| = 1$; $y(1) = |1| = 1$. Сравнивая полученные значения, находим, что наименьшее значение функции на отрезке равно $0$, а наибольшее равно $1$.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $1$.

б) на интервале (-4; 2);Рассмотрим функцию $y = |x|$ на открытом интервале $(-4; 2)$. Точка минимума функции $x=0$ принадлежит этому интервалу. Значение функции в этой точке $y(0) = |0| = 0$. Поскольку $y = |x| \ge 0$ для любых $x$, то $0$ является наименьшим значением функции на данном интервале. Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на концах интервала. При $x$, стремящемся к $-4$, значение $y = |x|$ стремится к $|-4| = 4$. При $x$, стремящемся к $2$, значение $y = |x|$ стремится к $|2| = 2$. Наибольшим из этих предельных значений является $4$. Однако, так как интервал открытый, $x$ никогда не достигает значения $-4$, и, следовательно, $y$ никогда не достигает значения $4$, хотя и может быть сколь угодно близко к нему. Таким образом, наибольшего значения на данном интервале функция не достигает.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [2; 7];Рассмотрим функцию $y = |x|$ на отрезке $[2; 7]$. На этом отрезке $x > 0$, поэтому функция $y = |x|$ совпадает с функцией $y = x$. Функция $y = x$ является возрастающей на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[2; 7]$. Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом. Вычислим значения на концах отрезка: $y(2) = |2| = 2$; $y(7) = |7| = 7$.
Ответ: наименьшее значение $2$, наибольшее значение $7$.

г) на интервале (-2; 1).Рассмотрим функцию $y = |x|$ на открытом интервале $(-2; 1)$. Точка минимума функции $x=0$ принадлежит этому интервалу. Значение функции в этой точке $y(0) = |0| = 0$. Поскольку $y = |x| \ge 0$ для любых $x$, то $0$ является наименьшим значением функции на данном интервале. Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции на концах интервала. При $x$, стремящемся к $-2$, значение $y = |x|$ стремится к $|-2| = 2$. При $x$, стремящемся к $1$, значение $y = |x|$ стремится к $|1| = 1$. Наибольшим из этих предельных значений является $2$. Однако, так как интервал открытый, $x$ никогда не достигает значения $-2$, и, следовательно, $y$ никогда не достигает значения $2$, хотя и может быть сколь угодно близко к нему. Таким образом, наибольшего значения на данном интервале функция не достигает.
Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.