Номер 17.8, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.8, страница 92.

Условие.

17.8 а) $|a| + |b|$ при $a = 1 - \sqrt{2}, b = 3 - \sqrt{2}$;

б) $|x + y|$ при $x = 2\sqrt{7} - 5, y = \sqrt{7} - 3$;

в) $|t| - |z|$ при $t = 2 - \sqrt{5}, z = \sqrt{5} - 1$;

г) $|z - t|$ при $z = 2\sqrt{3} - 3, t = 2 - \sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Найдем значение выражения $|a| + |b|$ при $a = 1 - \sqrt{2}$ и $b = 3 - \sqrt{2}$.
Сначала определим знаки чисел $a$ и $b$, чтобы раскрыть модули.
Для числа $a = 1 - \sqrt{2}$: сравним 1 и $\sqrt{2}$. Так как $1^2 = 1$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$, то $1 < \sqrt{2}$, а значит, $1 - \sqrt{2} < 0$.
Следовательно, $|a| = |1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.
Для числа $b = 3 - \sqrt{2}$: сравним 3 и $\sqrt{2}$. Так как $3^2 = 9$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$, то $3 > \sqrt{2}$, а значит, $3 - \sqrt{2} > 0$.
Следовательно, $|b| = |3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2}$.
Теперь вычислим сумму модулей:
$|a| + |b| = (\sqrt{2} - 1) + (3 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1 + 3 - \sqrt{2} = 2$.
Ответ: 2.

б) Найдем значение выражения $|x + y|$ при $x = 2\sqrt{7} - 5$ и $y = \sqrt{7} - 3$.
Сначала найдем сумму $x + y$:
$x + y = (2\sqrt{7} - 5) + (\sqrt{7} - 3) = 2\sqrt{7} + \sqrt{7} - 5 - 3 = 3\sqrt{7} - 8$.
Теперь найдем модуль полученного выражения: $|x + y| = |3\sqrt{7} - 8|$.
Для этого определим знак выражения $3\sqrt{7} - 8$. Сравним $3\sqrt{7}$ и $8$, возведя их в квадрат:
$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.
$8^2 = 64$.
Поскольку $63 < 64$, то $3\sqrt{7} < 8$, и, следовательно, $3\sqrt{7} - 8 < 0$.
Значит, $|3\sqrt{7} - 8| = -(3\sqrt{7} - 8) = 8 - 3\sqrt{7}$.
Ответ: $8 - 3\sqrt{7}$.

в) Найдем значение выражения $|t| - |z|$ при $t = 2 - \sqrt{5}$ и $z = \sqrt{5} - 1$.
Сначала определим значения $|t|$ и $|z|$.
Для $t = 2 - \sqrt{5}$: сравним 2 и $\sqrt{5}$. $2^2 = 4$, $(\sqrt{5})^2 = 5$. Так как $4 < 5$, то $2 < \sqrt{5}$, следовательно, $2 - \sqrt{5} < 0$.
Значит, $|t| = |2 - \sqrt{5}| = -(2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$.
Для $z = \sqrt{5} - 1$: сравним $\sqrt{5}$ и 1. $(\sqrt{5})^2 = 5$, $1^2 = 1$. Так как $5 > 1$, то $\sqrt{5} > 1$, следовательно, $\sqrt{5} - 1 > 0$.
Значит, $|z| = |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$.
Теперь найдем разность модулей:
$|t| - |z| = (\sqrt{5} - 2) - (\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5} + 1 = -1$.
Ответ: -1.

г) Найдем значение выражения $|z - t|$ при $z = 2\sqrt{3} - 3$ и $t = 2 - \sqrt{3}$.
Сначала найдем разность $z - t$:
$z - t = (2\sqrt{3} - 3) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3 - 2 + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 5$.
Теперь найдем модуль этого выражения: $|z - t| = |3\sqrt{3} - 5|$.
Определим знак выражения $3\sqrt{3} - 5$. Сравним $3\sqrt{3}$ и $5$, возведя их в квадрат:
$(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$.
$5^2 = 25$.
Поскольку $27 > 25$, то $3\sqrt{3} > 5$, и, следовательно, $3\sqrt{3} - 5 > 0$.
Значит, $|3\sqrt{3} - 5| = 3\sqrt{3} - 5$.
Ответ: $3\sqrt{3} - 5$.