Номер 17.12, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.12, страница 93.

Условие.

17.12 a) На луче $[0; +\infty)$;

б) на полуинтервале $(-1.5; 7]$;

в) на луче $[-2; +\infty)$;

г) на полуинтервале $[-3; 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 6x + 13$ на заданных промежутках. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$y_v = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4$

Вершина параболы, являющаяся точкой минимума функции, находится в точке $(3; 4)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 3]$ и возрастает на промежутке $[3; +\infty)$.

а) На луче $[0; +\infty)$

Промежуток $[0; +\infty)$ содержит точку минимума функции $x_v=3$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом луче достигается в вершине параболы.

$y_{наим} = y(3) = 4$.

Поскольку при $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшего значения не существует.

б) на полуинтервале $(-1.5; 7]$

Промежуток $(-1.5; 7]$ содержит точку минимума функции $x_v=3$. Значит, наименьшее значение функции на этом полуинтервале равно значению в вершине.

$y_{наим} = y(3) = 4$.

Для определения наибольшего значения сравним значения функции на концах промежутка. На правом конце в точке $x=7$ значение функции равно:

$y(7) = 7^2 - 6(7) + 13 = 49 - 42 + 13 = 20$.

Левый конец $x=-1.5$ не входит в промежуток. Значение функции в этой точке было бы:

$y(-1.5) = (-1.5)^2 - 6(-1.5) + 13 = 2.25 + 9 + 13 = 24.25$.

Так как точка $x=-1.5$ находится дальше от вершины ($x_v=3$), чем точка $x=7$, то наибольшего значения функция достигала бы именно в ней. Но поскольку $x=-1.5$ не принадлежит заданному полуинтервалу, функция лишь стремится к значению $24.25$, но не достигает его. Следовательно, наибольшего значения на данном промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшего значения не существует.

в) на луче $[-2; +\infty)$

Промежуток $[-2; +\infty)$ содержит точку минимума функции $x_v=3$. Таким образом, наименьшее значение функции на этом луче совпадает со значением в вершине.

$y_{наим} = y(3) = 4$.

При $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают, поэтому наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение 4, наибольшего значения не существует.

г) на полуинтервале $[-3; 1)$

Промежуток $[-3; 1)$ не содержит точку минимума функции $x_v=3$. Весь промежуток находится на участке, где функция монотонно убывает (слева от вершины).

Следовательно, наибольшее значение на этом полуинтервале функция принимает в левой крайней точке $x=-3$, которая включена в промежуток.

$y_{наиб} = y(-3) = (-3)^2 - 6(-3) + 13 = 9 + 18 + 13 = 40$.

Наименьшее значение функция принимала бы в правой крайней точке $x=1$. Однако эта точка не включена в промежуток. Значение функции в этой точке $y(1) = 1^2 - 6(1) + 13 = 8$. Поскольку $x=1$ не принадлежит промежутку, функция стремится к значению 8, но не достигает его. Следовательно, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наибольшее значение 40, наименьшего значения не существует.