Номер 17.19, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.19, страница 94.

Условие.

17.19 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} |x|, & \text{если } -3 \le x \le 3; \\ 6 - x, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

а) Найдите $f(-3), f(3), f(4,5)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для нахождения значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому участку области определения принадлежит аргумент $x$.

1. Найдем $f(-3)$.
Значение $x = -3$ принадлежит промежутку $-3 \le x \le 3$. Следовательно, используем формулу $f(x) = |x|$.
$f(-3) = |-3| = 3$.

2. Найдем $f(3)$.
Значение $x = 3$ принадлежит промежутку $-3 \le x \le 3$. Следовательно, используем формулу $f(x) = |x|$.
$f(3) = |3| = 3$.

3. Найдем $f(4,5)$.
Значение $x = 4,5$ удовлетворяет условию $x > 3$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 6 - x$.
$f(4,5) = 6 - 4,5 = 1,5$.

Ответ: $f(-3) = 3$; $f(3) = 3$; $f(4,5) = 1,5$.

б)

Для построения графика функции $y=f(x)$ рассмотрим два участка, на которых она задана.

1. На отрезке $[-3, 3]$ функция задана формулой $y = |x|$. Графиком является часть графика модуля, состоящая из двух отрезков, которые соединяют точки $(-3, 3)$, $(0, 0)$ и $(3, 3)$.
Ключевые точки для этого участка: $f(-3)=3$, $f(0)=0$, $f(3)=3$.

2. На промежутке $(3, +\infty)$ функция задана формулой $y = 6 - x$. Графиком является луч.
Найдем начальную точку луча: при $x \to 3^+$, $y \to 6-3=3$. Таким образом, луч выходит из точки $(3, 3)$, которая также является конечной точкой предыдущего участка.
Найдем еще одну точку на луче, например, точку пересечения с осью Ox: $6-x=0 \implies x=6$. Точка $(6, 0)$.
Следовательно, эта часть графика — луч, выходящий из точки $(3, 3)$ и проходящий через точку $(6, 0)$.

Объединив обе части, получаем искомый график.

Ответ: График функции состоит из двух отрезков, соединяющих последовательно точки $(-3, 3)$, $(0, 0)$ и $(3, 3)$, и луча, выходящего из точки $(3, 3)$ и проходящего через точку $(6, 0)$.

в)

Основные свойства функции $y = f(x)$:

1. Область определения: $D(f) = [-3, +\infty)$.
2. Множество значений: $E(f) = (-\infty, 3]$.
3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = 0$ и $x = 6$.
4. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.
5. Промежутки знакопостоянства:
   • $f(x) > 0$ при $x \in [-3, 0) \cup (0, 6)$;
   • $f(x) < 0$ при $x \in (6, +\infty)$.
6. Промежутки монотонности:
   • функция убывает на промежутках $[-3, 0]$ и $[3, +\infty)$;
   • функция возрастает на промежутке $[0, 3]$.
7. Экстремумы функции:
   • $x_{min} = 0$ — точка локального минимума, $y_{min} = f(0) = 0$;
   • $x_{max} = -3$ и $x_{max} = 3$ — точки локального максимума, $y_{max} = f(-3) = f(3) = 3$.
8. Наибольшее и наименьшее значения:
   • $y_{наиб} = 3$;
   • наименьшее значение функции не существует.
9. Функция непрерывна на всей области определения.
10. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной, так как область определения несимметрична относительно начала координат).

Ответ: Свойства функции приведены в списке выше.