Номер 17.20, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.20, страница 94.

Условие.

17.20 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} |x|, \text{ если } x < 1; \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \geq 1. \end{cases}$

а) Найдите $f(4), f(-1), f(0)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для нахождения значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из условий ($x < 1$ или $x \ge 1$) удовлетворяет аргумент $x$ и использовать соответствующую часть формулы.

1. Найдем $f(4)$.
Так как $4 \ge 1$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x}$.
$f(4) = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем $f(-1)$.
Так как $-1 < 1$, используем формулу $f(x) = |x|$.
$f(-1) = |-1| = 1$.

3. Найдем $f(0)$.
Так как $0 < 1$, используем формулу $f(x) = |x|$.
$f(0) = |0| = 0$.

Ответ: $f(4) = 2$, $f(-1) = 1$, $f(0) = 0$.

б) График функции $y = f(x)$ строится из двух частей, соответствующих двум промежуткам области определения.

1. На промежутке $(-\infty; 1)$ строим график функции $y = |x|$. График модуля представляет собой два луча, выходящих из начала координат.
• Для $x \in (-\infty; 0)$ это луч $y = -x$.
• Для $x \in [0; 1)$ это отрезок прямой $y = x$.
Ключевые точки: $(-2, 2)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$. В точке $x=1$ значение $y$ стремится к 1, поэтому на графике в точке $(1, 1)$ будет выколотая (пустая) точка, так как $x < 1$.

2. На промежутке $[1; +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, ось симметрии которой — ось Ox.
График начинается в точке $(1, \sqrt{1}) = (1, 1)$. Эта точка является частью графика (закрашенная), так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$).
Другие точки для построения: $(4, \sqrt{4}) = (4, 2)$, $(9, \sqrt{9}) = (9, 3)$.

3. Объединяем построенные части. Выколотая точка $(1, 1)$ от первой части графика "закрывается" закрашенной точкой $(1, 1)$ от второй части. В результате получается непрерывная линия.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из луча $y=-x$ на промежутке $(-\infty, 0]$, отрезка $y=x$ на промежутке $[0, 1]$ и ветви кривой $y=\sqrt{x}$ на промежутке $[1, +\infty)$. График имеет минимум в точке $(0,0)$.

в) Перечислим основные свойства функции $y=f(x)$ на основе ее формулы и графика.

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Функция принимает все неотрицательные значения. $E(f) = [0; +\infty)$.
• Нули функции: $f(x)=0$ при $|x|=0$, что дает $x=0$. На втором промежутке $\sqrt{x}=0$ также дает $x=0$, но $0 \notin [1; +\infty)$. Таким образом, единственный нуль функции — $x=0$.
• Четность и нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения симметрична относительно нуля, но условие $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$ не выполняется для всех $x$. Например, $f(4) = 2$, а $f(-4) = |-4|=4$. $f(-4) \ne f(4)$ и $f(-4) \ne -f(4)$.
• Промежутки монотонности:
  • функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$;
  • функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы функции: В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума.
  $x_{min} = 0$, $y_{min} = f(0) = 0$.
  Максимумов у функции нет.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как она составлена из непрерывных функций, и в точке "склейки" $x=1$ пределы слева и справа равны значению функции: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1$.
• Ограниченность: Функция ограничена снизу числом 0, но не ограничена сверху.

Ответ: Свойства функции:
1. $D(f) = (-\infty; +\infty)$;
2. $E(f) = [0; +\infty)$;
3. Нуль функции: $x=0$;
4. Функция общего вида;
5. Убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$;
6. $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$;
7. Непрерывна на $(-\infty; +\infty)$;
8. Ограничена снизу.