Номер 17.27, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.27, страница 95.

Условие.

Упростите выражение:

17.27 a) $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$;

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$;

в) $\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}$;

г) $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$ используется тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Применяя это правило, получаем:
$\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}|$.

Далее нужно определить знак выражения под знаком модуля. Для этого сравним числа 1 и $\sqrt{3}$. Можно сравнить их квадраты: $1^2 = 1$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Так как $1 < 3$, то $1 < \sqrt{3}$.
Следовательно, разность $1 - \sqrt{3}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, $|x| = -x$, если $x < 0$. Поэтому:
$|1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1$.

Ответ: $\sqrt{3} - 1$

б)

Упростим выражение $\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2}$, используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}|$.

Определим знак выражения $2 - \sqrt{3}$. Сравним квадраты чисел: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$.
Поскольку $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$.
Это значит, что разность $2 - \sqrt{3}$ является положительным числом.

По определению модуля, $|x| = x$, если $x \ge 0$. Поэтому:
$|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

в)

Упростим выражение $\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2}$ по формуле $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = |\sqrt{5} - 3|$.

Определим знак подмодульного выражения $\sqrt{5} - 3$. Сравним квадраты чисел: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $3^2 = 9$.
Так как $5 < 9$, то $\sqrt{5} < 3$.
Следовательно, разность $\sqrt{5} - 3$ отрицательна.

Раскрываем модуль, меняя знак выражения на противоположный:
$|\sqrt{5} - 3| = -(\sqrt{5} - 3) = -\sqrt{5} + 3 = 3 - \sqrt{5}$.

Ответ: $3 - \sqrt{5}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2}$ по формуле $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}|$.

Определим знак выражения $3 - \sqrt{6}$. Сравним квадраты чисел: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{6})^2 = 6$.
Поскольку $9 > 6$, то $3 > \sqrt{6}$.
Значит, разность $3 - \sqrt{6}$ положительна.

Раскрываем модуль, сохраняя знак выражения:
$|3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$.

Ответ: $3 - \sqrt{6}$