Номер 17.28, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.28, страница 95.

Условие.

17.28 a) $\sqrt{(4 - 2\sqrt{5})^2}$;

б) $\sqrt{(\pi - 3)^2}$;

в) $\sqrt{(6 - 3\sqrt{6})^2}$;

г) $\sqrt{(4 - \pi)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для решения данного примера необходимо использовать свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{a^2} = |a|$ (квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа).

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{(4 - 2\sqrt{5})^2} = |4 - 2\sqrt{5}|$

Теперь необходимо определить знак выражения под знаком модуля. Для этого сравним числа $4$ и $2\sqrt{5}$. Чтобы сравнить их, возведем оба числа в квадрат:

$4^2 = 16$

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Так как $16 < 20$, то $4 < 2\sqrt{5}$. Следовательно, разность $4 - 2\sqrt{5}$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно ($a < 0$), то $|a| = -a$. Применим это правило:

$|4 - 2\sqrt{5}| = -(4 - 2\sqrt{5}) = -4 + 2\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 4$

Ответ: $2\sqrt{5} - 4$.

б)

Используем то же свойство: $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(\pi - 3)^2} = |\pi - 3|$

Теперь определим знак выражения под модулем. Значение числа $\pi$ (пи) приблизительно равно $3,14159...$

Поскольку $\pi > 3$, то разность $\pi - 3$ является положительным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем положительно ($a \ge 0$), то $|a| = a$. Следовательно:

$|\pi - 3| = \pi - 3$

Ответ: $\pi - 3$.

в)

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(6 - 3\sqrt{6})^2} = |6 - 3\sqrt{6}|$

Определим знак выражения $6 - 3\sqrt{6}$. Для этого сравним числа $6$ и $3\sqrt{6}$ путем возведения их в квадрат:

$6^2 = 36$

$(3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$

Так как $36 < 54$, то $6 < 3\sqrt{6}$. Следовательно, разность $6 - 3\sqrt{6}$ является отрицательным числом.

Раскрываем модуль для отрицательного числа:

$|6 - 3\sqrt{6}| = -(6 - 3\sqrt{6}) = -6 + 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6} - 6$

Ответ: $3\sqrt{6} - 6$.

г)

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(4 - \pi)^2} = |4 - \pi|$

Определим знак выражения под модулем. Так как $\pi \approx 3,14159...$, то $4 > \pi$.

Следовательно, разность $4 - \pi$ является положительным числом.

Раскрываем модуль для положительного числа:

$|4 - \pi| = 4 - \pi$

Ответ: $4 - \pi$.