Номер 17.35, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.35, страница 96.

Условие.

17.35 Упростите выражение $\frac{|b-1|\cdot |b|}{b^2 - b + 1 - |b|}$, если:

а) $b < 0$;

б) $0 < b < 1$;

в) $b > 1$;

г) $5 \le b \le 6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть модули $|b|$ и $|b-1|$ в зависимости от знака подмодульных выражений в каждом из указанных случаев.

Исходное выражение: $\frac{|b-1| \cdot |b|}{b^2 - b + 1 - |b|}$

а) $b < 0$

Если $b < 0$, то подмодульное выражение $b$ отрицательно, следовательно, $|b| = -b$.

Если $b < 0$, то $b - 1$ также отрицательно (например, если $b = -2$, то $b-1 = -3$), следовательно, $|b-1| = -(b-1) = 1-b$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$\frac{(1-b) \cdot (-b)}{b^2 - b + 1 - (-b)} = \frac{-b + b^2}{b^2 - b + 1 + b} = \frac{b^2 - b}{b^2 + 1}$

Ответ: $\frac{b^2 - b}{b^2 + 1}$

б) $0 < b < 1$

Если $0 < b < 1$, то подмодульное выражение $b$ положительно, следовательно, $|b| = b$.

Если $b < 1$, то $b-1$ отрицательно, следовательно, $|b-1| = -(b-1) = 1-b$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$\frac{(1-b) \cdot b}{b^2 - b + 1 - b} = \frac{b(1-b)}{b^2 - 2b + 1}$

Заметим, что знаменатель является полным квадратом: $b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$.

$\frac{b(1-b)}{(b-1)^2} = \frac{-b(b-1)}{(b-1)^2}$

Так как $b \ne 1$, мы можем сократить дробь на $(b-1)$:

$\frac{-b}{b-1} = \frac{b}{1-b}$

Ответ: $\frac{b}{1-b}$

в) $b > 1$

Если $b > 1$, то подмодульное выражение $b$ положительно, следовательно, $|b| = b$.

Если $b > 1$, то $b-1$ также положительно, следовательно, $|b-1| = b-1$.

Подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$\frac{(b-1) \cdot b}{b^2 - b + 1 - b} = \frac{b(b-1)}{b^2 - 2b + 1}$

Знаменатель, как и в предыдущем пункте, равен $(b-1)^2$.

$\frac{b(b-1)}{(b-1)^2}$

Так как $b \ne 1$, мы можем сократить дробь на $(b-1)$:

$\frac{b}{b-1}$

Ответ: $\frac{b}{b-1}$

г) $5 \le b \le 6$

Данный случай является частным случаем предыдущего, так как если $5 \le b \le 6$, то $b > 1$.

Поэтому результат будет таким же, как и в пункте в).

При $5 \le b \le 6$: $|b| = b$ и $|b-1| = b-1$.

$\frac{|b-1| \cdot |b|}{b^2 - b + 1 - |b|} = \frac{(b-1)b}{b^2 - b + 1 - b} = \frac{b(b-1)}{(b-1)^2} = \frac{b}{b-1}$

Сокращение возможно, так как в данном диапазоне $b \ne 1$.

Ответ: $\frac{b}{b-1}$