Номер 17.37, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.37, страница 96.

Условие.

17.37 Упростите выражение

$\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 2x + 1} - 2\sqrt{x^2 - 10x + 25}$, если:

а) $x < -1$;

б) $-1 < x < 2$;

в) $2 < x < 5$;

г) $x > 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Сначала упростим данное выражение. Заметим, что каждое подкоренное выражение представляет собой полный квадрат:

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$\sqrt{(x-2)^2} + \sqrt{(x+1)^2} - 2\sqrt{(x-5)^2}$

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем выражение с модулями:

$|x-2| + |x+1| - 2|x-5|$

Теперь раскроем модули для каждого из заданных интервалов.

а) $x < -1$

В этом интервале все выражения под знаком модуля отрицательны:
$x-2 < 0$, следовательно $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
$x+1 < 0$, следовательно $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.
$x-5 < 0$, следовательно $|x-5| = -(x-5) = -x+5$.
Подставляем в выражение:
$(-x+2) + (-x-1) - 2(-x+5) = -x+2-x-1+2x-10 = (-x-x+2x) + (2-1-10) = -9$.

Ответ: $-9$

б) $-1 < x < 2$

В этом интервале:
$x-2 < 0$, следовательно $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
$x+1 > 0$, следовательно $|x+1| = x+1$.
$x-5 < 0$, следовательно $|x-5| = -(x-5) = -x+5$.
Подставляем в выражение:
$(-x+2) + (x+1) - 2(-x+5) = -x+2+x+1+2x-10 = (-x+x+2x) + (2+1-10) = 2x-7$.

Ответ: $2x-7$

в) $2 < x < 5$

В этом интервале:
$x-2 > 0$, следовательно $|x-2| = x-2$.
$x+1 > 0$, следовательно $|x+1| = x+1$.
$x-5 < 0$, следовательно $|x-5| = -(x-5) = -x+5$.
Подставляем в выражение:
$(x-2) + (x+1) - 2(-x+5) = x-2+x+1+2x-10 = (x+x+2x) + (-2+1-10) = 4x-11$.

Ответ: $4x-11$

г) $x > 5$

В этом случае все выражения под знаком модуля положительны:
$x-2 > 0$, следовательно $|x-2| = x-2$.
$x+1 > 0$, следовательно $|x+1| = x+1$.
$x-5 > 0$, следовательно $|x-5| = x-5$.
Подставляем в выражение:
$(x-2) + (x+1) - 2(x-5) = x-2+x+1-2x+10 = (x+x-2x) + (-2+1+10) = 9$.

Ответ: $9$