Номер 17.42, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.42, страница 97.

Условие.

Постройте график функции:

17.42 a) $y = x|x|;$

б) $y = \frac{|x|}{x} + 1;$

в) $y = \frac{x}{|x|};$

г) $y = \frac{x^2}{|x|}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для построения графика функции $y = x|x|$ необходимо раскрыть модуль. Модуль числа $|x|$ равен $x$, если $x \ge 0$, и равен $-x$, если $x < 0$. Рассмотрим два случая:

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид $y = x \cdot x = x^2$. Для неотрицательных значений $x$ графиком является часть параболы $y = x^2$, расположенная в первой координатной четверти.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид $y = x \cdot (-x) = -x^2$. Для отрицательных значений $x$ графиком является часть параболы $y = -x^2$, расположенная в третьей координатной четверти.

Таким образом, график функции $y = x|x|$ состоит из двух ветвей парабол, соединенных в точке $(0, 0)$.

Ответ: График функции состоит из ветви параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ при $x < 0$.

б) Для построения графика функции $y = \frac{|x|}{x} + 1$ сначала определим область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{x}{x} + 1 = 1 + 1 = 2$. Графиком является горизонтальный луч $y=2$, расположенный в первой координатной четверти. Точка с абсциссой $x=0$ не входит в этот луч, поэтому на графике в точке $(0, 2)$ будет "выколотая" точка.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{-x}{x} + 1 = -1 + 1 = 0$. Графиком является горизонтальный луч $y=0$, который совпадает с отрицательной частью оси Ox. Точка с абсциссой $x=0$ не входит в этот луч, поэтому на графике в точке $(0, 0)$ будет "выколотая" точка.

Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей: $y=2$ при $x > 0$ и $y=0$ при $x < 0$. Точки $(0, 2)$ и $(0, 0)$ на оси Oy не принадлежат графику (являются выколотыми).

в) Для построения графика функции $y = \frac{x}{|x|}$ определим область определения: $x \neq 0$. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. При $x > 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{x}{x} = 1$. Графиком является горизонтальный луч $y=1$ при $x>0$. Точка $(0, 1)$ выколота.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид $y = \frac{x}{-x} = -1$. Графиком является горизонтальный луч $y=-1$ при $x<0$. Точка $(0, -1)$ выколота.

Эта функция также известна как функция знака, $y = \text{sgn}(x)$.

Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей: $y=1$ при $x>0$ и $y=-1$ при $x<0$. Точки $(0, 1)$ и $(0, -1)$ выколоты.

г) Для построения графика функции $y = \frac{x^2}{|x|}$ определим область определения: $x \neq 0$. Упростим выражение, учитывая, что $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$.

$y = \frac{|x|^2}{|x|} = |x|$, при условии, что $x \neq 0$.

Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = |x|$, за исключением точки, где $x=0$.

График функции $y=|x|$ состоит из двух лучей:
- $y = x$ при $x \ge 0$
- $y = -x$ при $x < 0$
Эти два луча образуют "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.
Поскольку для нашей исходной функции $x \neq 0$, точка $(0, 0)$ не принадлежит графику, то есть является выколотой.

Ответ: График функции является объединением двух лучей: $y=x$ для $x>0$ и $y=-x$ для $x<0$. График выглядит как "галочка" ($y=|x|$) с выколотой вершиной в точке $(0,0)$.