Номер 18.2, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 18. Комбинаторные и вероятностные задачи. Правило умножения. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 18.2, страница 97.

Условие.

18.2 В записи * $\Omega$ ■ вместо * можно произвольно поставить одно из чисел: $-\sqrt{25}$, $\sqrt{2,5}$, $\sqrt{0,25}$, вместо $\Omega$ — поставить $\in$ или $\notin$, а вместо ■ — символ числового множества $\mathbb{Q}$ или $\mathbb{R}$.

а) Изобразите дерево вариантов составления таких утверждений.

б) Сколько получится утверждений, содержащих символ $\notin$?

в) Сколько всего утверждений получится?

г) Сколько среди них верных утверждений?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Изобразим дерево вариантов, которое показывает все возможные комбинации для составления утверждений. Дерево имеет три уровня ветвления: первый уровень — выбор числа, второй — выбор символа отношения ($ \in $ или $ \notin $), третий — выбор множества ($ Q $ или $ R $).

• 1. Выбор числа:
  • $-\sqrt{25}$
    • 2. Выбор символа:
      • $\in$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies -\sqrt{25} \in Q$
          • $R \implies -\sqrt{25} \in R$
      • $\notin$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies -\sqrt{25} \notin Q$
          • $R \implies -\sqrt{25} \notin R$
  • $\sqrt{2.5}$
    • 2. Выбор символа:
      • $\in$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies \sqrt{2.5} \in Q$
          • $R \implies \sqrt{2.5} \in R$
      • $\notin$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies \sqrt{2.5} \notin Q$
          • $R \implies \sqrt{2.5} \notin R$
  • $\sqrt{0.25}$
    • 2. Выбор символа:
      • $\in$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies \sqrt{0.25} \in Q$
          • $R \implies \sqrt{0.25} \in R$
      • $\notin$
        • 3. Выбор множества:
          • $Q \implies \sqrt{0.25} \notin Q$
          • $R \implies \sqrt{0.25} \notin R$

Ответ: Дерево вариантов представлено выше.

б) Чтобы найти количество утверждений, содержащих символ $ \notin $, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции в утверждении, учитывая заданное ограничение.

• Количество вариантов для числа (*): 3 ($-\sqrt{25}$, $\sqrt{2.5}$, $\sqrt{0.25}$).
• Количество вариантов для символа ($ \Omega $): 1 (только $ \notin $).
• Количество вариантов для множества (■): 2 ($ Q $ или $ R $).

Общее количество таких утверждений равно произведению числа вариантов:

$3 \times 1 \times 2 = 6$

Ответ: 6.

в) Чтобы найти общее количество утверждений, нужно перемножить количество вариантов для каждой из трех позиций.

• Количество вариантов для числа (*): 3.
• Количество вариантов для символа ($ \Omega $): 2 ($ \in $ или $ \notin $).
• Количество вариантов для множества (■): 2 ($ Q $ или $ R $).

Общее количество возможных утверждений равно:

$3 \times 2 \times 2 = 12$

Ответ: 12.

г) Для определения количества верных утверждений проанализируем каждое число и его принадлежность к множествам $ Q $ (рациональные числа) и $ R $ (действительные числа).

1. Анализ чисел:

• $-\sqrt{25} = -5$. Это целое число, а значит, оно является рациональным ($ -5 \in Q $) и действительным ($ -5 \in R $).
• $\sqrt{2.5} = \sqrt{5/2}$. Это иррациональное число. Оно не принадлежит множеству рациональных чисел ($ \sqrt{2.5} \notin Q $), но принадлежит множеству действительных чисел ($ \sqrt{2.5} \in R $).
• $\sqrt{0.25} = 0.5$. Это конечная десятичная дробь, которая является рациональным числом ($ 0.5 \in Q $) и, следовательно, действительным числом ($ 0.5 \in R $).

2. Проверка истинности всех 12 утверждений:

1. $-\sqrt{25} \in Q$ — верно.
2. $-\sqrt{25} \in R$ — верно.
3. $-\sqrt{25} \notin Q$ — неверно.
4. $-\sqrt{25} \notin R$ — неверно.
5. $\sqrt{2.5} \in Q$ — неверно.
6. $\sqrt{2.5} \in R$ — верно.
7. $\sqrt{2.5} \notin Q$ — верно.
8. $\sqrt{2.5} \notin R$ — неверно.
9. $\sqrt{0.25} \in Q$ — верно.
10. $\sqrt{0.25} \in R$ — верно.
11. $\sqrt{0.25} \notin Q$ — неверно.
12. $\sqrt{0.25} \notin R$ — неверно.

Подсчитав количество верных утверждений, получаем: $2 + 2 + 2 = 6$.

Ответ: 6.