Номер 18.6, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 18. Комбинаторные и вероятностные задачи. Правило умножения. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 18.6, страница 98.

Условие.

18.6 В прямоугольнике с вершинами A(0; 0), B(0; 3), C(9; 3), D(9; 0) от-метили все точки с целочисленными координатами.

а) Сколько всего отметили точек (включая точки, лежащие на сторонах)?

б) Сколько таких точек лежит внутри (не на сторонах) прямо-угольника?

в) Сколько таких точек лежит на графике функции $y = \sqrt{x}$?

г) Сколько таких точек лежит выше графика функции $y = \sqrt{x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Сколько всего отметили точек (включая точки, лежащие на сторонах)?
Прямоугольник с вершинами в точках A(0; 0), B(0; 3), C(9; 3) и D(9; 0) задается на координатной плоскости системой неравенств $0 \le x \le 9$ и $0 \le y \le 3$. Нас интересуют точки с целочисленными координатами, удовлетворяющие этим неравенствам. Целочисленные значения, которые может принимать координата $x$, принадлежат множеству $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Количество таких значений: $9 - 0 + 1 = 10$. Целочисленные значения, которые может принимать координата $y$, принадлежат множеству $\{0, 1, 2, 3\}$. Количество таких значений: $3 - 0 + 1 = 4$. Общее число точек с целочисленными координатами в данном прямоугольнике (включая его стороны) равно произведению количества возможных значений для каждой координаты: $10 \times 4 = 40$.
Ответ: 40.

б) Сколько таких точек лежит внутри (не на сторонах) прямоугольника?
Точки, лежащие внутри прямоугольника, должны удовлетворять строгим неравенствам: $0 < x < 9$ и $0 < y < 3$. Целочисленные значения для координаты $x$ в этом случае: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Количество таких значений: $8 - 1 + 1 = 8$. Целочисленные значения для координаты $y$: $\{1, 2\}$. Количество таких значений: $2 - 1 + 1 = 2$. Общее число точек с целочисленными координатами строго внутри прямоугольника равно: $8 \times 2 = 16$.
Ответ: 16.

в) Сколько таких точек лежит на графике функции $y = \sqrt{x}$?
Мы ищем точки с целочисленными координатами $(x, y)$, которые находятся в заданном прямоугольнике ($0 \le x \le 9$, $0 \le y \le 3$) и удовлетворяют уравнению $y = \sqrt{x}$. Из уравнения следует, что $x = y^2$. Так как $x$ и $y$ должны быть целыми, то $x$ должен быть полным квадратом. Переберем все возможные целые значения $y$ из диапазона $[0, 3]$:
При $y = 0$, $x = 0^2 = 0$. Точка (0; 0) удовлетворяет условиям ($0 \le 0 \le 9$, $0 \le 0 \le 3$).
При $y = 1$, $x = 1^2 = 1$. Точка (1; 1) удовлетворяет условиям ($0 \le 1 \le 9$, $0 \le 1 \le 3$).
При $y = 2$, $x = 2^2 = 4$. Точка (4; 2) удовлетворяет условиям ($0 \le 4 \le 9$, $0 \le 2 \le 3$).
При $y = 3$, $x = 3^2 = 9$. Точка (9; 3) удовлетворяет условиям ($0 \le 9 \le 9$, $0 \le 3 \le 3$).
Следующее целое значение $y=4$ дает $x=16$, что находится вне прямоугольника. Таким образом, на графике функции лежат 4 точки с целочисленными координатами.
Ответ: 4.

г) Сколько таких точек лежит выше графика функции $y = \sqrt{x}$?
Нам нужно найти количество целочисленных точек $(x, y)$ в прямоугольнике, для которых выполняется неравенство $y > \sqrt{x}$. Переберем все возможные целые значения $x$ от 0 до 9 и для каждого из них посчитаем количество целых $y$ из диапазона $[0, 3]$, удовлетворяющих этому неравенству.
При $x = 0$: $y > \sqrt{0} \implies y > 0$. Подходят $y \in \{1, 2, 3\}$ — 3 точки.
При $x = 1$: $y > \sqrt{1} \implies y > 1$. Подходят $y \in \{2, 3\}$ — 2 точки.
При $x = 2$: $y > \sqrt{2} \approx 1.41$. Подходят $y \in \{2, 3\}$ — 2 точки.
При $x = 3$: $y > \sqrt{3} \approx 1.73$. Подходят $y \in \{2, 3\}$ — 2 точки.
При $x = 4$: $y > \sqrt{4} \implies y > 2$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 5$: $y > \sqrt{5} \approx 2.24$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 6$: $y > \sqrt{6} \approx 2.45$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 7$: $y > \sqrt{7} \approx 2.65$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 8$: $y > \sqrt{8} \approx 2.83$. Подходит $y = 3$ — 1 точка.
При $x = 9$: $y > \sqrt{9} \implies y > 3$. В диапазоне $[0, 3]$ таких $y$ нет — 0 точек.
Сложим количество найденных точек: $3 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 14$.
Ответ: 14.