Номер 4, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 1. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 4, страница 99.

Условие.

4 Упростите выражение:

a) $5\sqrt{18} + 7\sqrt{50} - 30\sqrt{2};$

б) $\frac{\sqrt{5a^3b^{12}}}{\sqrt{125a^7b^5}}$, если $a > 0$, $b > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести все слагаемые к одному виду, вынеся множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

Упростим первое слагаемое $5\sqrt{18}$:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Тогда $5\sqrt{18} = 5 \cdot 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.

Упростим второе слагаемое $7\sqrt{50}$:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Тогда $7\sqrt{50} = 7 \cdot 5\sqrt{2} = 35\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$5\sqrt{18} + 7\sqrt{50} - 30\sqrt{2} = 15\sqrt{2} + 35\sqrt{2} - 30\sqrt{2}$.

Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{2}$, поэтому мы можем сложить и вычесть их коэффициенты:

$(15 + 35 - 30)\sqrt{2} = (50 - 30)\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.

Ответ: $20\sqrt{2}$.

б) Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$ (при $x \ge 0, y > 0$) и объединим два корня в один:

$\frac{\sqrt{5a^3b^{12}}}{\sqrt{125a^7b^5}} = \sqrt{\frac{5a^3b^{12}}{125a^7b^5}}$.

Теперь упростим (сократим) дробь под знаком корня. Сокращаем числовые коэффициенты, а также степени переменных, используя свойство $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

• Числа: $\frac{5}{125} = \frac{1}{25}$
• Переменная $a$: $\frac{a^3}{a^7} = a^{3-7} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}$
• Переменная $b$: $\frac{b^{12}}{b^5} = b^{12-5} = b^7$

Собрав все вместе, получаем выражение под корнем: $\frac{1 \cdot b^7}{25 \cdot a^4} = \frac{b^7}{25a^4}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt{\frac{b^7}{25a^4}}$.

Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя по отдельности. Учитывая, что по условию $a > 0$ и $b > 0$, нам не нужно использовать знаки модуля при извлечении корней из четных степеней.

Корень из знаменателя: $\sqrt{25a^4} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^4} = 5a^2$.

Корень из числителя: $\sqrt{b^7} = \sqrt{b^6 \cdot b} = \sqrt{b^6} \cdot \sqrt{b} = b^3\sqrt{b}$.

Объединяем полученные результаты в дробь:

$\frac{\sqrt{b^7}}{\sqrt{25a^4}} = \frac{b^3\sqrt{b}}{5a^2}$.

Ответ: $\frac{b^3\sqrt{b}}{5a^2}$.