Номер 9, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 1. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 9, страница 99.

Условие.

9 Упростите выражение

$ \sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 10x + 25} $, если $ \sqrt{10} < x < \sqrt{20} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для начала заметим, что подкоренные выражения являются полными квадратами.

Первое выражение: $x^2 - 6x + 9$. Это квадрат разности $(x-3)$, так как $(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

Второе выражение: $x^2 - 10x + 25$. Это квадрат разности $(x-5)$, так как $(x-5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в следующем виде:
$\sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(x-5)^2}$

Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа a). Применив это свойство, получим:
$|x-3| + |x-5|$

Теперь нам нужно раскрыть модули, используя данное в условии неравенство $\sqrt{10} < x < \sqrt{20}$. Для этого сравним $x$ с числами 3 и 5.

1. Сравним $x$ с числом 3. Мы знаем, что $3 = \sqrt{9}$. Так как по условию $x > \sqrt{10}$, а $\sqrt{10} > \sqrt{9}$, то $x > 3$. Следовательно, выражение $x-3$ является положительным, и $|x-3| = x-3$.

2. Сравним $x$ с числом 5. Мы знаем, что $5 = \sqrt{25}$. Так как по условию $x < \sqrt{20}$, а $\sqrt{20} < \sqrt{25}$, то $x < 5$. Следовательно, выражение $x-5$ является отрицательным, и $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.

Подставим полученные выражения обратно в сумму модулей:
$(x-3) + (5-x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x - 3 + 5 - x = (x-x) + (5-3) = 0 + 2 = 2$.

Ответ: 2