Номер 3, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 3, страница 100.

Условие.

3 Сравните числа $a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} - \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$ и $b = 5,5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы сравнить числа $a$ и $b$, необходимо сначала упростить выражение для числа $a$.

Дано выражение:

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} - \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$

Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(3 - 2\sqrt{2})$ и $(3 + 2\sqrt{2})$.

Найдем общий знаменатель, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1$

Теперь подставим общий знаменатель в исходное выражение для $a$:

$a = \frac{1 \cdot (3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} - \frac{1 \cdot (3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{(3 + 2\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2})}{1}$

Упростим числитель, раскрыв скобки:

$a = 3 + 2\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Итак, мы получили, что $a = 4\sqrt{2}$. Теперь сравним это число с $b = 5,5$.

Поскольку оба числа, $a = 4\sqrt{2}$ и $b = 5,5$, являются положительными, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства для чисел будет таким же, как и для их квадратов.

Возведем в квадрат число $a$:

$a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$

Возведем в квадрат число $b$:

$b^2 = (5,5)^2 = 30,25$

Теперь сравним полученные квадраты:

$32 > 30,25$

Так как $a^2 > b^2$ и оба числа положительны, то и $a > b$.

Ответ: $a > b$.