Номер 9, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 9, страница 100.

Условие.

9. Упростите выражение

$\sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 - 8x + 16}$, если $\sqrt{7} < x < \sqrt{15}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения необходимо сначала преобразовать подкоренные выражения, а затем использовать свойство квадратного корня и заданное условие для раскрытия модулей.

1. Рассмотрим выражения под знаками корня. Они представляют собой полные квадраты разности, которые можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Для первого слагаемого: $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

Для второго слагаемого: $x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x-4)^2$.

2. Подставим свернутые выражения обратно в исходное:

$\sqrt{(x-2)^2} + \sqrt{(x-4)^2}$

3. Воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. Выражение примет вид:

$|x-2| + |x-4|$

4. Теперь необходимо раскрыть модули, учитывая заданное условие $\sqrt{7} < x < \sqrt{15}$.

Оценим знак выражения в первом модуле, $x-2$. Сравним $x$ с числом 2. Так как $2 = \sqrt{4}$, а по условию $x > \sqrt{7}$, то очевидно, что $x > 2$. Следовательно, выражение $x-2$ положительно, и $|x-2| = x-2$.

Оценим знак выражения во втором модуле, $x-4$. Сравним $x$ с числом 4. Так как $4 = \sqrt{16}$, а по условию $x < \sqrt{15}$, то очевидно, что $x < 4$. Следовательно, выражение $x-4$ отрицательно, и $|x-4| = -(x-4) = 4-x$.

5. Подставим полученные значения в выражение с модулями:

$(x-2) + (4-x)$

6. Упростим полученное выражение:

$x - 2 + 4 - x = (x-x) + (4-2) = 2$

Ответ: 2