Номер 5, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 5, страница 100.

Условие.

5 Сократите дробь:

a) $\frac{m\sqrt{m}+n\sqrt{n}+m\sqrt{n}+n\sqrt{m}}{m\sqrt{m}-n\sqrt{n}+m\sqrt{n}-n\sqrt{m}}$;

б) $\frac{9x+24\sqrt{xy}+16y}{\sqrt{9x^5}+\sqrt{16x^4y}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

a) Исходная дробь:

$$ \frac{m\sqrt{m} + n\sqrt{n} + m\sqrt{n} + n\sqrt{m}}{m\sqrt{m} - n\sqrt{n} + m\sqrt{n} - n\sqrt{m}} $$

Для сокращения дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель. Для этого сгруппируем слагаемые.

Преобразуем числитель:

$m\sqrt{m} + n\sqrt{n} + m\sqrt{n} + n\sqrt{m} = (m\sqrt{m} + n\sqrt{m}) + (m\sqrt{n} + n\sqrt{n})$

Вынесем общие множители $\sqrt{m}$ и $\sqrt{n}$ за скобки:

$\sqrt{m}(m+n) + \sqrt{n}(m+n) = (m+n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})$

Преобразуем знаменатель:

$m\sqrt{m} - n\sqrt{n} + m\sqrt{n} - n\sqrt{m} = (m\sqrt{m} - n\sqrt{m}) + (m\sqrt{n} - n\sqrt{n})$

Вынесем общие множители $\sqrt{m}$ и $\sqrt{n}$ за скобки:

$\sqrt{m}(m-n) + \sqrt{n}(m-n) = (m-n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{(m+n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})}{(m-n)(\sqrt{m}+\sqrt{n})} $$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{m}+\sqrt{n})$, при условии, что $m \ge 0$, $n \ge 0$ и они не равны нулю одновременно, а также $m \ne n$ (из знаменателя).

$$ \frac{m+n}{m-n} $$

Ответ: $\frac{m+n}{m-n}$

б) Исходная дробь:

$$ \frac{9x + 24\sqrt{xy} + 16y}{\sqrt{9x^5} + \sqrt{16x^4y}} $$

Область допустимых значений определяется условиями: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю, что означает $x \ne 0$. Таким образом, $x > 0$ и $y \ge 0$.

Преобразуем числитель. Он является полным квадратом суммы, так как $9x = (3\sqrt{x})^2$, $16y = (4\sqrt{y})^2$, а $24\sqrt{xy} = 2 \cdot (3\sqrt{x}) \cdot (4\sqrt{y})$.

$9x + 24\sqrt{xy} + 16y = (3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})^2$

Преобразуем знаменатель. Упростим каждый член, вынося множители из-под знака корня:

$\sqrt{9x^5} = \sqrt{9 \cdot x^4 \cdot x} = 3x^2\sqrt{x}$

$\sqrt{16x^4y} = \sqrt{16 \cdot x^4 \cdot y} = 4x^2\sqrt{y}$

Знаменатель примет вид:

$3x^2\sqrt{x} + 4x^2\sqrt{y} = x^2(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$$ \frac{(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})^2}{x^2(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})} $$

Сократим дробь на общий множитель $(3\sqrt{x} + 4\sqrt{y})$:

$$ \frac{3\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}{x^2} $$

Ответ: $\frac{3\sqrt{x} + 4\sqrt{y}}{x^2}$