Номер 8, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 8, страница 100.

Условие.

8. Упростите выражение $\left( \frac{\sqrt{a}}{b - \sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}} \right) \cdot \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для упрощения данного выражения $ (\frac{\sqrt{a}}{b - \sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}}) \cdot \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} $ выполним действия по шагам. Сначала преобразуем сумму в скобках, определив область допустимых значений: $a > 0$, $b > 0$, $a \neq b$.

Рассмотрим знаменатели дробей в скобках. Вынесем в них общие множители за скобки, используя то, что $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$:

$b - \sqrt{ab} = \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{b} - \sqrt{a})$

$a - \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} - \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$

Подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение в скобках:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - \sqrt{a})} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Заметим, что $(\sqrt{b} - \sqrt{a}) = -(\sqrt{a} - \sqrt{b})$. Используем это для приведения к общему знаменателю. Изменим знак у первой дроби:

$-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$:

$\frac{-\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{-a + b}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{b-a}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}$

Разложим числитель $b-a$ по формуле разности квадратов: $b-a = (\sqrt{b})^2 - (\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b} - \sqrt{a})(\sqrt{b} + \sqrt{a})$. Так как $(\sqrt{b} - \sqrt{a}) = -(\sqrt{a} - \sqrt{b})$, то $b-a = -(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})$.

Подставим это в нашу дробь и сократим:

$\frac{-(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = -\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$

Теперь вернемся к исходному выражению и выполним умножение:

$\left(-\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right) \cdot \frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b} + \sqrt{a}}$

Сокращаем одинаковые множители $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ и $\sqrt{ab}$ в числителе и знаменателе, в результате чего получаем:

$-1$

Ответ: -1