Номер 4, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 2. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 4, страница 100.

Условие.

4 Упростите выражение:

а) $3\sqrt{27} + 5\sqrt{75} - 35\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{\frac{48x^7y^5}{3x^3y^{12}}}$, если $x > 0, y > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{27} + 5\sqrt{75} - 35\sqrt{3}$, необходимо привести все слагаемые к одному виду. Для этого вынесем множители из-под знака корня там, где это возможно. Заметим, что подкоренные выражения 27 и 75 делятся на 3.

1. Упростим слагаемое $3\sqrt{27}$. Разложим 27 на множители: $27 = 9 \cdot 3$.
$3\sqrt{27} = 3\sqrt{9 \cdot 3} = 3 \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.

2. Упростим слагаемое $5\sqrt{75}$. Разложим 75 на множители: $75 = 25 \cdot 3$.
$5\sqrt{75} = 5\sqrt{25 \cdot 3} = 5 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 5 \cdot \sqrt{3} = 25\sqrt{3}$.

3. Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:
$9\sqrt{3} + 25\sqrt{3} - 35\sqrt{3}$.

4. Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{3}$. Вынесем его за скобки и выполним действия с коэффициентами:
$(9 + 25 - 35)\sqrt{3} = (34 - 35)\sqrt{3} = -1 \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{48x^7y^5}}{\sqrt{3x^3y^{12}}}$, если $x > 0, y > 0$, воспользуемся свойством частного корней, которое гласит, что $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$.

1. Объединим выражение под один знак корня:
$\sqrt{\frac{48x^7y^5}{3x^3y^{12}}}$.

2. Упростим подкоренное выражение, разделив числитель на знаменатель. Выполним деление для коэффициентов и для переменных с одинаковыми основаниями (используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{48}{3} = 16$
$\frac{x^7}{x^3} = x^{7-3} = x^4$
$\frac{y^5}{y^{12}} = y^{5-12} = y^{-7} = \frac{1}{y^7}$

3. Подставим упрощенные части обратно в подкоренное выражение:
$\sqrt{16 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{y^7}} = \sqrt{\frac{16x^4}{y^7}}$.

4. Теперь извлечем квадратный корень. Чтобы знаменатель стал полным квадратом, домножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на $y$:
$\sqrt{\frac{16x^4 \cdot y}{y^7 \cdot y}} = \sqrt{\frac{16x^4y}{y^8}}$.

5. Извлечем корень из числителя и знаменателя. Так как по условию $x > 0$ и $y > 0$, модули при извлечении корня из четных степеней можно опустить:
$\frac{\sqrt{16x^4y}}{\sqrt{y^8}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y}}{\sqrt{y^8}} = \frac{4x^2\sqrt{y}}{y^4}$.

Ответ: $\frac{4x^2\sqrt{y}}{y^4}$