Номер 3, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №2. Вариант 1. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 3, страница 99.

Условие.

3. Сравните числа $a = \frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{1}{2-\sqrt{5}}$ и $b = 4,5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы сравнить числа $a$ и $b$, сперва необходимо упростить выражение для числа $a$:

$a = \frac{1}{2+\sqrt{5}} - \frac{1}{2-\sqrt{5}}$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен произведению их знаменателей: $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})$. Воспользуемся формулой разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$.

Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю:

$a = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} - \frac{1 \cdot (2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{(2-\sqrt{5}) - (2+\sqrt{5})}{-1}$

Упростим числитель полученной дроби:

$2 - \sqrt{5} - 2 - \sqrt{5} = -2\sqrt{5}$

Теперь найдем значение $a$:

$a = \frac{-2\sqrt{5}}{-1} = 2\sqrt{5}$

Теперь нам нужно сравнить $a = 2\sqrt{5}$ и $b = 4,5$.

Так как оба числа являются положительными, мы можем сравнить их квадраты. Если квадрат одного числа больше квадрата другого, то и само число будет больше.

Найдем квадрат числа $a$:

$a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Найдем квадрат числа $b$:

$b^2 = (4,5)^2 = 20,25$.

Сравним полученные квадраты:

$20 < 20,25$, следовательно $a^2 < b^2$.

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, из неравенства $a^2 < b^2$ следует, что $a < b$.

Ответ: $a < b$.