Номер 18.4, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 18. Комбинаторные и вероятностные задачи. Правило умножения. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 18.4, страница 98.

Условие.

18.4 Дано выражение $\sqrt{n + 1}$. Значение переменной $n$ случайно выбирают среди целых чисел от 0 до 99 включительно.

a) Сколько всего значений может принять данное выражение?

б) Сколько среди них целых чисел?

в) Сколько среди них иррациональных чисел?

г) Сколько среди них чисел больше семи?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Сколько всего значений может принять данное выражение?
Переменная $n$ принимает целые значения от 0 до 99. Общее количество возможных значений для $n$ равно $99 - 0 + 1 = 100$. Выражение, которое мы рассматриваем, это $\sqrt{n + 1}$. Так как $n$ принимает 100 различных значений, подкоренное выражение $n + 1$ также принимает 100 различных значений, а именно все целые числа от $0 + 1 = 1$ до $99 + 1 = 100$. Функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей для $x \ge 0$. Это означает, что разным значениям аргумента $n+1$ соответствуют разные значения функции $\sqrt{n+1}$. Следовательно, данное выражение может принять столько же различных значений, сколько существует возможных значений для $n$, то есть 100.
Ответ: 100.

б) Сколько среди них целых чисел?
Значение выражения $\sqrt{n + 1}$ будет целым числом, если подкоренное выражение $n + 1$ является полным квадратом. Мы знаем, что $n + 1$ принимает целые значения от 1 до 100 включительно. Нам нужно найти количество полных квадратов в этом диапазоне. Выпишем полные квадраты, не превышающие 100: $1^2 = 1$ (при $n=0$)
$2^2 = 4$ (при $n=3$)
$3^2 = 9$ (при $n=8$)
$4^2 = 16$ (при $n=15$)
$5^2 = 25$ (при $n=24$)
$6^2 = 36$ (при $n=35$)
$7^2 = 49$ (при $n=48$)
$8^2 = 64$ (при $n=63$)
$9^2 = 81$ (при $n=80$)
$10^2 = 100$ (при $n=99$) Всего таких чисел 10.
Ответ: 10.

в) Сколько среди них иррациональных чисел?
Корень из натурального числа является либо целым числом, либо иррациональным. Из пункта (а) мы знаем, что всего выражение может принять 100 различных значений. Из пункта (б) мы определили, что 10 из этих значений являются целыми числами. Все остальные значения будут иррациональными. Их количество можно найти, вычтя количество целых значений из общего количества значений: $100 - 10 = 90$.
Ответ: 90.

г) Сколько среди них чисел больше семи?
Нам нужно найти количество значений $n$ (где $n$ — целое число от 0 до 99), для которых выполняется неравенство: $\sqrt{n + 1} > 7$ Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{n + 1})^2 > 7^2$ $n + 1 > 49$ $n > 48$ Так как $n$ — это целое число из диапазона от 0 до 99, нам подходят все целые числа от 49 до 99 включительно. Чтобы найти их количество, вычтем из последнего числа первое и прибавим единицу: $99 - 49 + 1 = 50 + 1 = 51$. Таким образом, существует 51 значение $n$, при котором значение выражения больше семи.
Ответ: 51.