Номер 17.41, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 17. Модуль действительного числа. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 17.41, страница 97.

Условие.

17.41 a) $|x| \le -x+4;$

б) $|x| > x-2;$

в) $|x| > -x+4;$

г) $-|x| > 3-x.$

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Решим неравенство $|x| \le -x + 4$.

Для решения неравенства с модулем рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$x \le -x + 4$

$2x \le 4$

$x \le 2$

Совмещая с условием $x \ge 0$, получаем решение для этого случая: $0 \le x \le 2$ или $x \in [0; 2]$.

2. Пусть $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$-x \le -x + 4$

$0 \le 4$

Это неравенство является верным для всех значений $x$. Совмещая с условием $x < 0$, получаем решение для этого случая: $x < 0$ или $x \in (-\infty; 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое множество решений: $(-\infty; 0) \cup [0; 2] = (-\infty; 2]$.

Ответ: $(-\infty; 2]$.

б) Решим неравенство $|x| > x - 2$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Неравенство становится:

$x > x - 2$

$0 > -2$

Это неравенство верно для любых $x$. С учетом условия $x \ge 0$, решением в этом случае является промежуток $[0; +\infty)$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Неравенство становится:

$-x > x - 2$

$2 > 2x$

$1 > x$, или $x < 1$.

С учетом условия $x < 0$, решением в этом случае является промежуток $(-\infty; 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, $(-\infty; 0) \cup [0; +\infty)$, получаем, что неравенство верно для всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

в) Решим неравенство $|x| > -x + 4$.

Рассмотрим два случая раскрытия модуля.

1. Пусть $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$x > -x + 4$

$2x > 4$

$x > 2$

С учетом условия $x \ge 0$, решение в этом случае: $x > 2$.

2. Пусть $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$-x > -x + 4$

$0 > 4$

Это неравенство неверно. В этом случае решений нет.

Итоговое решение является решением из первого случая.

Ответ: $(2; +\infty)$.

г) Решим неравенство $-|x| > 3 - x$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$|x| < x - 3$

Левая часть неравенства, $|x|$, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$). Для того чтобы неравенство имело решение, правая часть, $x - 3$, должна быть строго больше левой, а значит, как минимум, положительной:

$x - 3 > 0 \implies x > 3$.

Таким образом, будем искать решения при условии $x > 3$. Если $x > 3$, то $x$ — положительное число, и $|x| = x$. Подставим это в неравенство $|x| < x - 3$:

$x < x - 3$

$0 < -3$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что даже при выполнении условия $x > 3$ решений нет. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).