Номер 16.71, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 16. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Глава 2. Функция у =√х свойства квадратного корня. Часть 2 - номер 16.71, страница 87.

Условие.

16.71 a) $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}};$

б) $\frac{\sqrt{m} - \sqrt{n}}{\sqrt{mn}} + \frac{\sqrt{m} - \sqrt{r}}{\sqrt{nr}};$

в) $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{cd}} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{dm}};$

г) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{\sqrt{bc}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $\sqrt{xy}$ и $\sqrt{yz}$ это $\sqrt{xyz}$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $\sqrt{z}$: $\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{z} \cdot \sqrt{z}}{\sqrt{xy} \cdot \sqrt{z}} = \frac{z}{\sqrt{xyz}}$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $\sqrt{x}$: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{yz}} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{yz} \cdot \sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{xyz}}$.
Теперь сложим полученные дроби: $\frac{z}{\sqrt{xyz}} + \frac{x}{\sqrt{xyz}} = \frac{x+z}{\sqrt{xyz}}$.
Для завершения избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив на него числитель и знаменатель: $\frac{(x+z)\sqrt{xyz}}{\sqrt{xyz} \cdot \sqrt{xyz}} = \frac{(x+z)\sqrt{xyz}}{xyz}$.
Ответ: $\frac{(x+z)\sqrt{xyz}}{xyz}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{\sqrt{mn}} + \frac{\sqrt{m}-\sqrt{r}}{\sqrt{nr}}$. Можно упростить каждую дробь по отдельности.
Разделим первую дробь: $\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{\sqrt{mn}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{mn}} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{mn}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}\sqrt{n}} - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{m}}$.
Разделим вторую дробь: $\frac{\sqrt{m}-\sqrt{r}}{\sqrt{nr}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{nr}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}\sqrt{r}} - \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{n}\sqrt{r}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{1}{\sqrt{n}}$.
Теперь сложим полученные выражения: $(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{m}}) + (\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{1}{\sqrt{n}}) = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{m}} + \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{nr}} - \frac{1}{\sqrt{m}}$.
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{mnr}$: $\frac{\sqrt{m}\cdot\sqrt{m}}{\sqrt{nr}\cdot\sqrt{m}} - \frac{1\cdot\sqrt{nr}}{\sqrt{m}\cdot\sqrt{nr}} = \frac{m}{\sqrt{mnr}} - \frac{\sqrt{nr}}{\sqrt{mnr}} = \frac{m-\sqrt{nr}}{\sqrt{mnr}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(m-\sqrt{nr})\sqrt{mnr}}{mnr}$.
Ответ: $\frac{(m-\sqrt{nr})\sqrt{mnr}}{mnr}$.

в) В выражении $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{cd}} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{dm}}$ приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $\sqrt{cd}$ и $\sqrt{dm}$ это $\sqrt{cdm}$.
Домножим первую дробь на $\sqrt{m}$, а вторую на $\sqrt{c}$: $\frac{\sqrt{m} \cdot \sqrt{m}}{\sqrt{cd} \cdot \sqrt{m}} - \frac{\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}}{\sqrt{dm} \cdot \sqrt{c}} = \frac{m}{\sqrt{cdm}} - \frac{c}{\sqrt{cdm}}$.
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{m-c}{\sqrt{cdm}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(m-c)\sqrt{cdm}}{\sqrt{cdm}\sqrt{cdm}} = \frac{(m-c)\sqrt{cdm}}{cdm}$.
Ответ: $\frac{(m-c)\sqrt{cdm}}{cdm}$.

г) Упростим выражение $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}$, разделив каждую дробь на слагаемые.
Первая дробь: $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}$.
Вторая дробь: $\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{bc}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{bc}} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{bc}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{c}} - \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b}}$.
Сложим результаты: $(\frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}}) + (\frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b}}) = \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{c}} - \frac{1}{\sqrt{b}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{c}}$.
Приведем к общему знаменателю $\sqrt{ac}$: $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{c}+\sqrt{a}}{\sqrt{ac}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})\sqrt{ac}}{\sqrt{ac}\sqrt{ac}} = \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})\sqrt{ac}}{ac}$.
Ответ: $\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})\sqrt{ac}}{ac}$.