Номер 19.30, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.30, страница 107.

Условие.

19.30 a) $\begin{cases} y = 2x^2, \\ y = 4x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -x^2, \\ x + y + 6 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x^2, \\ y = -x; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = 2x^2, \\ y + 2x - 4 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y = 2x^2, \\ y = 4x. \end{cases} $

Для решения системы приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$):

$2x^2 = 4x$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

или

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя второе уравнение $y = 4x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 4 \cdot 0 = 0$.

При $x_2 = 2$, $y_2 = 4 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, мы получили две точки пересечения графиков, которые и являются решениями системы: $(0, 0)$ и $(2, 8)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(2, 8)$.

б)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y = -x^2, \\ x + y + 6 = 0. \end{cases} $

Для решения этой системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения ($y = -x^2$) во второе уравнение:

$x + (-x^2) + 6 = 0$

$-x^2 + x + 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-2$.

$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение $y = -x^2$:

При $x_1 = 3$, $y_1 = -(3)^2 = -9$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = -(-2)^2 = -4$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(3, -9)$ и $(-2, -4)$.

Ответ: $(3, -9)$, $(-2, -4)$.

в)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y = -\frac{1}{3}x^2, \\ y = -x. \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$-\frac{1}{3}x^2 = -x$

Умножим обе части уравнения на $-3$, чтобы избавиться от дроби и знака минус:

$x^2 = 3x$

Перенесем все в левую часть:

$x^2 - 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = -x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = -0 = 0$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = -3$.

Решениями системы являются пары чисел $(0, 0)$ и $(3, -3)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(3, -3)$.

г)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y = 2x^2, \\ y + 2x - 4 = 0. \end{cases} $

Используем метод подстановки. Подставим $y = 2x^2$ из первого уравнения во второе:

$(2x^2) + 2x - 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Для упрощения разделим все его члены на 2:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-2$.

$x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение $y = 2x^2$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 2(1)^2 = 2$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(1, 2)$ и $(-2, 8)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-2, 8)$.