Номер 19.49, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.49, страница 110.

Условие.

19.49 Пусть $M$ — наименьшее значение функции $y = 2x$ на отрезке $[2; 5]$, а $N$ — наибольшее значение функции $y = -5x^2$ на луче $(-\infty; 0]$. Сравните $M$ и $N$. Сделайте графическую иллюстрацию.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Нахождение наименьшего значения M
Требуется найти наименьшее значение функции $y = 2x$ на отрезке $[2; 5]$.
Данная функция является линейной, её график — прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k=2$ положителен, функция является возрастающей на всей числовой оси.
На отрезке $[2; 5]$ возрастающая функция принимает свое наименьшее значение в левой границе отрезка, то есть при $x = 2$.
Вычислим это значение:
$M = y(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: $M = 4$.

Нахождение наибольшего значения N
Требуется найти наибольшее значение функции $y = -5x^2$ на луче $(-\infty; 0]$.
Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен $-5$ (отрицателен), ветви параболы направлены вниз.
Наибольшее значение такая функция принимает в своей вершине. Координата вершины параболы $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $b=0$, поэтому вершина находится в точке $x_v = 0$.
Точка $x = 0$ принадлежит рассматриваемому лучу $(-\infty; 0]$, следовательно, наибольшее значение функции на этом луче достигается именно в ней.
Вычислим это значение:
$N = y(0) = -5 \cdot 0^2 = 0$.
Ответ: $N = 0$.

Сравнение M и N
Мы получили значения $M = 4$ и $N = 0$.
Сравнивая эти числа, получаем $4 > 0$.
Следовательно, $M > N$.
Ответ: $M > N$.

Графическая иллюстрация
Построим графики заданных функций на указанных промежутках.
1. График функции $y = 2x$ на отрезке $[2; 5]$ — это отрезок прямой (на графике синего цвета), соединяющий точки $(2; 4)$ и $(5; 10)$. Наименьшее значение $M=4$ достигается в точке $(2; 4)$.
2. График функции $y = -5x^2$ на луче $(-\infty; 0]$ — это левая ветвь параболы (на графике красного цвета) с вершиной в точке $(0; 0)$. Наибольшее значение $N=0$ достигается в вершине.
На графике наглядно показаны обе функции и точки, соответствующие значениям M и N.