Номер 19.54, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 19. Функция у =kx^2, её свойства и график. Глава 3. Квадратичная функция. Функция y=k/x. Часть 2 - номер 19.54, страница 111.

Условие.

19.54 a) Используя графики функций $y = -2x^2$ и $y = 2x - 4$, определите, при каких значениях $x$ прямая расположена ниже параболы.

б) Используя графики функций $y = -x^2$ и $y = 2x$, определите, при каких значениях $x$ прямая расположена выше параболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ прямая $y = 2x - 4$ расположена ниже параболы $y = -2x^2$, необходимо решить неравенство:

$2x - 4 < -2x^2$

Для решения этого неравенства сначала найдем точки пересечения графиков, решив соответствующее уравнение:

$2x - 4 = -2x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + x - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а сумма корней равна -1. Подходят числа 1 и -2.

$x_1 = 1$, $x_2 = -2$

Эти значения $x$ являются абсциссами точек пересечения прямой и параболы. Они разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$ и $(1, \infty)$.

Теперь вернемся к неравенству $x^2 + x - 2 < 0$. График функции $f(x) = x^2 + x - 2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Значения этой функции будут отрицательными (меньше нуля) между ее корнями.

Следовательно, неравенство выполняется на интервале между $x = -2$ и $x = 1$.

Ответ: $x \in (-2, 1)$

б)

Чтобы определить, при каких значениях $x$ прямая $y = 2x$ расположена выше параболы $y = -x^2$, необходимо решить неравенство:

$2x > -x^2$

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение:

$2x = -x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Отсюда находим корни:

$x_1 = 0$, $x_2 = -2$

Эти абсциссы точек пересечения разбивают числовую ось на интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$ и $(0, \infty)$.

Рассмотрим неравенство $x^2 + 2x > 0$. График функции $f(x) = x^2 + 2x$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут положительными (больше нуля) за пределами ее корней, то есть на интервалах, где $x$ меньше меньшего корня и больше большего корня.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -2$ и при $x > 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$